已知P（x0，y0）是函数f（x）=lnx图象上一点，在点P处的切线l与x轴交于点B，过点P作x轴的垂线，垂足为A．（1）求切线l的方程及点B的坐标；（2）若x0∈（0，1），求△PAB的面积S的最大值，-数学试题及答案

1、试题题目：已知P（x0，y0）是函数f（x）=lnx图象上一点，在点P处的切线l与x轴交..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知P（x₀，y₀）是函数f（x）=lnx图象上一点，在点P处的切线l与x轴交于点B，过点P作x轴的垂线，垂足为A．
（1）求切线l的方程及点B的坐标；
（2）若x₀∈（0，1），求△PAB的面积S的最大值，并求此时x₀的值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f'（x）=

1

x

，…（2分）
∴过点P的切线方程为y-lnx₀=

1

x0

（x-x₀）
即切线方程为：y=

1

x0

x+lnx₀-1…（4分）
令y=0，得x=x₀-x₀lnx₀，
即点B的坐标为（x₀-x₀lnx₀，0）…（6分）
（2）AB=x₀-x₀lnx₀-x₀=-x₀lnx₀，PA=|f（x₀）|=-lnx₀，
∴S=

1

2

AB?PA=

1

2

x₀（lnx₀）²…（9分）
S′=

1

2

ln²x₀+

1

2

x₀2lnx₀?

1

x0

=

1

2

lnx₀（lnx₀+2）…（11分）
由S′＜0得，

1

e2

＜x＜1，
∴x∈（0，

1

e2

）时，S单调递增；x∈（

1

e2

，1）时S单调递减；…（13分）
∴S_max=S（

1

e2

）=

2

e2

∴当x₀=

1

e2

，面积S的最大值为

2

e2

．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知P（x0，y0）是函数f（x）=lnx图象上一点，在点P处的切线l与x轴交..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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