已知函数f（x）=（x2+ax+2）ex，（x，a∈R）．（1）当a=0时，求函数f（x）的图象在点A（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）在R上单调，求a的取值范围；（3）当a=52时，求函数f（x）的极小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=（x2+ax+2）ex，（x，a∈R）．（1）当a=0时，求函数f（x）的图..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=（x²+ax+2）e^x，（x，a∈R）．
（1）当a=0时，求函数f （x）的图象在点A （1，f （1））处的切线方程；
（2）若f （x）在R上单调，求a的取值范围；
（3）当a=

5

2

时，求函数f（x）的极小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]…（1分）
（1）当a=0时，f（x）=（x²+2）e^x，f'（x）=e^x（x²+2x+2），…（2分）f（1）=3e，f'（1）=5e，
∴函数f（x）的图象在点A （1，f （1））处的切线方程为y-3e=5e （x-1），
即5ex-y-2e=0 …（4分）
（2）f'（x）=e^x[x²+（a+2）x+a+2]，
考虑到e^x＞0恒成立且x²系数为正，
∴f （x）在R上单调等价于 x²+（a+2）x+a+2≥0恒成立 …．（6分）
∴（a+2）²-4（a+2）≤0，
∴-2≤a≤2，即a 的取值范围是[-2，2]，…（8分）
（若得a的取值范围是（-2，2），可扣1分）
（3）当a=

5

2

时，f(x)=(x2+

5

2

x+2)ex，f′(x)=ex(x2+

9

2

x+

9

2

)
…（10分）
令f'（x）=0，得x=-3，或x=-

3

2

令f'（x）＞0Z，得x＜-3或x＞-

3

2

，
令f'（x）＜0Z，得-3＜x＜-

3

2

…（12分）
x，f'（x），f（x）的变化情况如下表

x

（-∞，-3）

-3

(-3，-

3

2

)

-

3

2

(-

3

2

，+∞)

f'（x）

+

0

-

0

+

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

所以，函数f（x）的极小值为f（-

3

2

）=

1

2

e-

3

2

…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=（x2+ax+2）ex，（x，a∈R）．（1）当a=0时，求函数f（x）的图..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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