已知函数f（x）=lnx，g(x)=ax+a-1x+1（a∈R），F（x）=f（x）-g（x）．（1）是否存在实数a，使以F（x）图象上任意一点P（x0，y0）为切点的切线的斜率k≤1恒成立？（2）当a≤12时，讨论F（x）的单调性．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=lnx，g(x)=ax+a-1x+1（a∈R），F（x）=f（x）-g（x）．（1）是否..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=lnx，g(x)=ax+

a-1

x

+1（a∈R），F（x）=f（x）-g（x）．
（1）是否存在实数a，使以F（x）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤1恒成立？
（2）当a≤

1

2

时，讨论F（x）的单调性．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）F（x）=f（x）-g（x）=lnx-ax-

a-1

x

-1
∵以F（x）图象上任意一点P（x₀，y₀）为切点的切线的斜率k≤1恒成立，
∴F′(x)=-

ax2-x+1-a

x2

≤1（x＞0）恒成立，
∴（a+1）x²-x-（a-1）≥0①在x＞0时恒成立．
当a≤-1时，①在x＞0时不恒成立
a＜-1时，△=4a²-3，设u（x）=（a+1）x²-x-（a-1），则

a+1＞0

△＜0

或

a+1＞0

△＞0

u(0)=1-a≥0

x=-

-1

2(a+1)

＜0

∴-

3

2

＜a＜

3

2

；
（2）F′(x)=-

ax2-x+1-a

x2

(x＞0)
令h（x）=ax²-x+1-a（x＞0）
当a=0时，h（x）=1-x，x∈（0，1）时，h′（x）＞0；x∈[1，+∞）时，h′（x）≤0
∴F（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是[1，+∞）；
当a≠0时，由F′（x）=0可得ax²-x+1-a=0
∴x1=1，x2=

1

a-1

（i）当a=

1

2

时，x₁=x₂，h（x）≥0，F′（x）≤0，函数在（0，+∞）上单调递减；
（ii）当0＜a＜

1

2

时，

1

a

-1＞1＞0，x∈（0，1），h（x）＞0，∴F′（x）＜0，函数单调递减；x∈（1，

1

a

-1）时，h（x）＜0，F′（x）＞0，函数单调递增；当x∈（

1

a

-1，+∞）时，h（x）＞0，∴F′（x）＜0，函数单调递减，
∴函数的单调递减区间是（0，1），（

1

a

-1，+∞）；单调递增区间是（1，

1

a

-1）；
（iii）当a＜0时，

1

a

-1＜0，x∈（0，1），h（x）＞0，∴F′（x）＜0，函数单调递减；x∈（1，+∞）时，h（x）＜0，F′（x）＞0，函数单调递增，
∴函数的单调递减区间是（0，1）；单调递增区间是（1，+∞）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=lnx，g(x)=ax+a-1x+1（a∈R），F（x）=f（x）-g（x）．（1）是否..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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