（理科）已知函数f（x）=4x3+3tx2-6t2x+t-1，x∈R，t∈R．（1）当t≠0时，求f（x）的单调区间；（2）证明：对任意t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．-数学试题及答案

1、试题题目：（理科）已知函数f（x）=4x3+3tx2-6t2x+t-1，x∈R，t∈R．（1）当t≠0时，求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

（理科）已知函数f（x）=4x³+3tx²-6t²x+t-1，x∈R，t∈R．
（1）当t≠0时，求f（x）的单调区间；
（2）证明：对任意t∈（0，+∞），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f'（x）=12x²+6tx-6t²，令f'（x）=0，得x₁=-t或x2=

t

2

．
1°当t＞0时，f'（x）＞0的解集为(-∞，-t)∪(

t

2

，+∞)
∴f（x）的单调增区间为(-∞，-t)，(

t

2

，+∞)，f（x）的单调减区间为(-t，

t

2

)．
2°当t＜0时，f'（x）＜0的解集为(

t

2

，-t)
∴f（x）的单调增区间为(-∞，

t

2

)，(-t，+∞)，f（x）的单调减区间为(

t

2

，-t)．
（2）证明：由（1）可知，当t＞0时，f（x）在(0，

t

2

)内递减，(

t

2

，+∞)内单调递增．
1°当

t

2

≥1，即t≥2时，f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增．
f（0）=t-1＞0，f（1）=-6t²+4t+3＜0
∴f（x）在（0，1）内有零点．
2°当0＜

t

2

＜1，即0＜t＜2时，f（x）在(0，

t

2

)内递减，在(

t

2

，1)内单调递增．
若t∈(0，1]，f(

t

2

)=-

7

4

t3+t-1≤-

7

4

t3＜0，f（1）=-6x²+4t+3≥-6t+4t+3=3-2t＞0
∴f（x）在(

t

2

，1)内存在零点．
若t∈(1，2)，f(

t

2

)=-

7

4

t3+t-1＜0，f（0）=t-1＞0
∴f（x）在(0，

t

2

)内存在零点．
∴对任意t∈（0，2），f（x）在区间（0，1）内均存在零点．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（理科）已知函数f（x）=4x3+3tx2-6t2x+t-1，x∈R，t∈R．（1）当t≠0时，求..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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