已知函数f(x)=ax+lnx-1，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在P（1，y0）处的切线平行于直线y=-x+1，求函数y=f（x）的单调区间；（2）若a＞0，且对x∈（0，2e]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=ax+lnx-1，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在P（1，y0）处的切线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

a

x

+lnx-1，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）在P（1，y₀）处的切线平行于直线y=-x+1，求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若a＞0，且对x∈（0，2e]时，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

(1)直线y=-x+1斜率kAB=1，函数y=f(x)的导数f′(x)=-

a

x2

+

1

x

f′(1)=-a+1=-1，即a=2

∴f(x)=

2

x

+lnx-1，f′(x)=-

2

x2

+

1

x

=

x-2

x2

∵f(x)的定义域为(0，+∞)，f′(x)=-

2

x2

+

1

x

=

x-2

x2

由f′(x)＞0得x＞2，由f′(x)＜0得0＜x＜2．

∴函数f(x)的单调增区间(2，+∞)，单调减区间是(0，2)

（2）∵a＞0，f（x）＞0，对x∈（0，2e]恒成立，
即

a

x

+lnx-1＞0对x∈(0，2e]恒成立
设a＞x（1-lnx）=x-xlnx，x∈（0，2e]，
g^′（x）=1-lnx-1=-lnx
当0＜x＜1时，g^′（x）＞0，g（x）为增函数，
当1＜x＜2e，g^′（x）＜0，g（x）为减函数，
∴当x=1时，函数在（0，2e]上取得最大值，
∴g（x）≤g（1）=1
∴a的取值范围是（1，+∞）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ax+lnx-1，a∈R．（1）若曲线y=f（x）在P（1，y0）处的切线..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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