设函数f（x）=ex．（I）求证：f（x）≥ex；（II）记曲线y=f（x）在点P（t，f（t））（其中t＜0）处的切线为l，若l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S，求S的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=ex．（I）求证：f（x）≥ex；（II）记曲线y=f（x）在点P（t，f（t）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=e^x．
（I）求证：f（x）≥ex；
（II）记曲线y=f（x）在点P（t，f（t））（其中t＜0）处的切线为l，若l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S，求S的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）证明：设g（x）=e^x-ex，∴g′（x）=e^x-e，
由g′（x）=e^x-e=0，得x=1，
∴在区间（-∞，1）上，g′（x）＜0，
函数g（x）在区间（-∞，1）上单调递减，
在区间（1，+∞）上，g′（x）＞0，
函数g（x）在区间（1，+∞）上单调递增，
g（x）≥g（1）=0，
∴f（x）≥ex．
（II）∵f′（x）=e^x，∴曲线y=f（x）在点P外切线为l：y-e^t=e^t（x-t），
切线l与x轴的交点为（t-1，0），与y轴的交战为（0，e^t-te^t），
∵t＜0，∴S=S（t）=

1

2

(1-t)?(1-t)et=

1

2

(1-2t+t2)et，
∴S′=

1

2

et(t2-1)，
在（-∞-1）上，S（t）单调增，在（-1，0）上，S（t）单调减，
∴当t=-1时，S有最大值，此时S=

2

e

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=ex．（I）求证：f（x）≥ex；（II）记曲线y=f（x）在点P（t，f（t）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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