已知函数g(x)=-a23x3+a2x2+cx(a≠0)，（I）当a=1时，若函数g（x）在区间（-1，1）上是增函数，求实数c的取值范围；（II）当a≥12时，（1）求证：对任意的x∈[0，1]，g′（x）≤1的充要条件是c≤-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数g(x)=-a23x3+a2x2+cx(a≠0)，（I）当a=1时，若函数g（x）在区..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数g(x)=-

a2

3

x3+

a

2

x2+cx(a≠0)，
（I）当a=1时，若函数g（x）在区间（-1，1）上是增函数，求实数c的取值范围；
（II）当a≥

1

2

时，（1）求证：对任意的x∈[0，1]，g′（x）≤1的充要条件是c≤

3

4

；
（2）若关于x的实系数方程g′（x）=0有两个实根α，β，求证：|α|≤1，且|β|≤1的充要条件是-

1

4

≤c≤a2-a．

试题来源：广安二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）当a=1时，g(x)=-

1

3

x3+

1

2

x2+cx，g'（x）=-x²+x+c，
∵g（x）在（-1，1）上为单调递增函数，∴g'（x）≥0在（-1，1）上恒成立，
∴-x²+x+c≥0在（-1，1）上恒成立，∴-1-1+c≥0，∴c≥2．
（II）设g'（x）=f（x），则f(x)=-a2x2+ax+c=-a2(x-

1

2a

)2+c+

1

4

，此抛物线关于x=

1

2a

对称，
由a≥

1

2

可得，0＜

1

2a

≤1．对任意的x∈[0，1]，g′（x）≤1的充要条件是它的最大值c+

1

4

≤1，
即 c≤

3

4

．
（2）关于x的实系数方程g′（x）=0 即-a²x²+ax+c=0，即 -a2(x-

1

2a

)2+c+

1

4

=0，
∴g′（x）=0有两个实根α，β，|α|≤1，且|β|≤1的充要条件是

f(

1

2a

) ≥ 0

f(1) ≤ 0

，即

c+

1

4

≥ 0

-a2+ a + c ≤ 0

，等价于

c ≥ -

1

4

c ≤ a2- a

，等价于 -

1

4

≤ c ≤a2-a．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数g(x)=-a23x3+a2x2+cx(a≠0)，（I）当a=1时，若函数g（x）在区..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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