已知函数f(x)=1-xmx+1nx，且m＞0．（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求m的取值范围；（Ⅱ）求函数f（x）在[1，e]的最大值和最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=1-xmx+1nx，且m＞0．（Ⅰ）若函数f（x）在[1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1-x

mx

+1nx，且m＞0．
（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上是增函数，求m的取值范围；
（Ⅱ）求函数f（x）在[1，e]的最大值和最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）求导函数，可得f′(x)=-

1

mx2

+

1

x

=

mx-1

mx2

（m＞0）． …（1分）
因为函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，所以f'（x）≥0在[1+∞）上恒成立，
所以mx-1≥0在[1，+∞）上恒成立，
所以m≥

1

x

在[1，+∞)上恒成立．
所以m的取值范围是[1，+∞）． …（3分）
（Ⅱ）令f′（x）=0，∴x=

1

m

（m＞0）． …（4分）
①若

1

m

＜1，即m＞1，则x∈[1，e]时，有f'（x）＞0，所以f（x）在[1，e]上递增，
所以f（x）的最大值是f(e)=

1-e+me

me

；f(x)的最小值是f（1）=0…（6分）
②若1≤

1

m

＜e，即

1

e

＜m≤1，则x∈(1，

1

m

)时，f′（x）＜0，所以f（x）在(1，

1

m

)上递减；x∈(

1

m

，e)时，f′（x）＞0，所以f（x）在(

1

m

，e)上递增．
所以f（x）的最小值是f(

1

m

)=

m-1

m

-lnm．
又f(1)=0，f(e)=

1-e+me

me

，
所以当1-e+me＞0，即1-

1

e

＜m≤1时，有f（e）＞f（1），所以f（x）的最大值是f(e)=

1-e+me

me

；
当1-e+me≤0，即

1

e

＜m≤1-

1

e

时，有f（e）≤f（1），
所以f（x）的最大值是f（1）=0． …（9分）
③若

1

m

≥e，即0＜m≤

1

e

，则x∈[1，e]时，有f'（x）＜0，
所以f（x）在[1，e]上递增，
所以f（x）的最大值是f（1）=0；f（x）的最小值是f(e)=

1-e+me

me

．…（11分）
所以f（x）的最大值是

1-e+me

me

，m＞1-

1

e

0，0＜m≤1-

1

e

，f（x）的最小值是

0，m＞1

m-1

m

-1nm，

1

e

＜m≤1

1-e+me

me

，0＜m≤

1

e

…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=1-xmx+1nx，且m＞0．（Ⅰ）若函数f（x）在[1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：