已知函数f（x）=ax3-2bx2+cx（a，b，c∈R）的图象关于原点对称，且当x=1时，f（x）取得极值-23．（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）若点A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）图象上任意两点，且x1，x2-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax3-2bx2+cx（a，b，c∈R）的图象关于原点对称，且当x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax³-2bx²+cx（a，b，c∈R）的图象关于原点对称，且当x=1时，f（x）取得极值-

2

3

．
（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）若点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数f（x）图象上任意两点，且x₁，x₂∈[-1，1]．求证：过A点的切线不可能与过B点的切线垂直；
（Ⅲ）若x₁，x₂∈[-1，1]，且|f（x₁）-f（x₂）|=λ|x₁-x₂|，求证：λ∈[0，1]．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）f′（x）=3ax²-4bx+c，
∵函数f（x）=ax³-2bx²+cx（a，b，c∈R）的图象关于原点对称，
∴f（-x）=-ax³-2bx^2-cx=f（x），∴b=0
∵当x=1时，f（x）取得极值-

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．∴f′（1）=3a-4b+c=0，
f（1）=a-2b+c=-

2

3

∴a=

1

3

，b=0，c=-1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=

1

3

x³-x，f′（x）=x²-1
证明：假设过A点的切线与过B点的切线垂直．
则f'（x₁）?f'（x₂）=-1
∴（x₁²-1）（x₂²-1）=-1
∵x₁，x₂∈[-1，1]所以x₁²-1，x₂²-1∈[-1，0]
∴（x₁²-1）（x₂²-1）∈[0，1]，
∴假设不成立．
∴过A点的切线不可能与过B点的切线垂直．
（Ⅲ）∵|f（x₁）-f（x₂）|=λ|x₁-x₂|，∴λ=

|f(x1)-f(x2)|

|x1-x2|

=

|(

1

3

x13-x 1)-(

1

3

x23-x2)|

|x1-x2|

=|

1

3

(x12+x1x2+x22)-1|=|

1

3

(x1+x2)2+

1

4

x22-1|
∵|x₁，x₂∈[-1，1]，∴

1

3

（x₁+x₂）²∈[0，

3

4

]

1

4

x₁x₂∈[0，

1

4

]，∴|

1

3

(x1+x2)2+

1

4

x22-1|∈[0，1]
即 λ∈[0，1]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax3-2bx2+cx（a，b，c∈R）的图象关于原点对称，且当x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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