发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-03 07:30:00
| 试题原文 |
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（1）f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=-
①若-1＜a＜0，则当0＜x＜-a时，f′（x）＞0；当-a＜x＜1时，f′（x）＜0；当x＞1时，f′（x）＞0．故f（x）分别在（0，-a），（1，+∞）上单调递增，在（-a，1）上单调递减． ②若a＜-1，仿①可得f（x）分别在（0，1），（-a，+∞）上单调递增，在（1，-a）上单调递减； （2）存在a，使g（x）在[a，-a]上为减函数．事实上，设h（x）=（-2x3+3ax2+6ax-4a2-6a）ex（x∈R），则h′（x）=[-2x3+3（a-2）x2+12ax-4a2]ex 再设m（x）=-2x3+3（a-2）x2+12ax-4a2（x∈R）， 则g（x）在[a，-a]上单调递减时，h（x）必在[a，0]上单调递减所以h′（a）≤0，由于ex＞0， 因此g（x）在[a，-a]上为减函数，当且仅当f（x）在[1，-a]上为减函数，h（x）在[a，1]上为减函数，且h（1）≥e?f（1）．由（1）知，当a≤-2①时，f（x）在[1，-a]上为减函数．又h（1）≥e?f（1）?4a2+13a+3≤0?-3≤a≤-
不难知道，?x∈[a，1]，h′（x）≤0??x∈[a，1]，m（x）≤0，因m′（x）=-6x2+6（a-2）x+12a=-6（x+2）（x-a），令m′（x）=0，则x=a，或x=-2．而a≤-2，于是 （p）当a＜-2时，若a＜x＜-2，则m′（x）＞0；若-2＜x＜1，则m′（x）＜0．因而m（x）在（a，-2）上单调递增，在 （-2，1）上单调递减． （q）当a=-2时，m′（x）≤0，m（x）在（-2，1）上单调递减． 综合（p）（q）知，当a≤-2时，m（x）在[a，1]上的最大值为m（-2）=-4a2-12a-8．所以?x∈[a，1]，m（x）≤0 ?m（-2）≤0?-4a2-12a-8≤0?a≤-2③， 又对x∈[a，1]，m（x）=0只有当a=-2时在x=-2取得，亦即h′（x）=0只有当a=-2时在x=-2取得．因此，当a≤-2时，h（x）在[a，1]上为减函数． 从而有①，②，③知，-3≤a≤-2 综上所述，存在a，使g（x）在[a，-a]上为减函数，且a的取值范围为[-3，-2]． |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax+x+（a-1）lnx+15a，其中a＜0，且a≠1（Ⅰ）讨论函数f（x..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。