已知函数f（x）=x4+ax3+bx2+c，其图象在y轴上的截距为-5，在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，又当x=0，x=2时取得极小值．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）能否找到垂直于-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x4+ax3+bx2+c，其图象在y轴上的截距为-5，在区间[0..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x⁴+ax³+bx²+c，其图象在y轴上的截距为-5，在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，又当x=0，x=2时取得极小值．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）能否找到垂直于x轴的直线，使函数f（x）的图象关于此直线对称，并证明你的结论；
*（Ⅲ）设使关于x的方程f（x）=λ²x²-5恰有三个不同实根的实数λ的取值范围为集合A，且两个非零实根为x₁、x₂．试问：是否存在实数m，使得不等式m²+tm+2≤|x₁-x₂|对任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵函数f（x）=x⁴+ax³+bx²+c，在y轴上的截距为-5，∴c=-5．
∵函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，
∴x=1时取得极大值，又当x=0，x=2时函数f（x）取得极小值．
∴x=0，x=1，x=2为函数f（x）的三个极值点，
即f'（x）=0的三个根为0，1，2，∴f'（x）=4x³+3ax²+2bx=4x（x-1）（x-2））=4x³-12x²+8x．
∴a=-4，b=4，
∴函数f（x）的解析式：f（x）=x⁴-4x³+4x²-5．
（Ⅱ）若函数f（x）存在垂直于x轴的对称轴，设对称轴方程为x=t，
则f（t+x）=f（t-x）对x∈R恒成立．
即：（t+x）⁴-4（t+x）³+4（t+x）²-5=（t-x）⁴-4（t-x）³+4（t-x）²-5．
化简得（t-1）x³+（t³-3t²+2t）x=0对x∈R恒成立．
∴

t-1=0

t 3-3t 2+2t=0

∴t=1．
即函数f（x）存在垂直于x轴的对称轴x=1．
（Ⅲ）x⁴-4x³+4x²-5=λ²x²-5恰好有三个不同的根，即x⁴-4x³+4x²-λ²x²=0恰好有三个不同的根，
即x²（x²-4x+4-λ²）=0，
∵x=0是一个根，
∴方程x²-4x+4-λ²=0应有两个非零的不相等的实数根，
∴△=16-4（4-λ²）=4λ²＞0，且x₁x₂=4-λ²≠0，∴λ≠0，-2，2．
若存在实数m，使得不等式m²+tm+2≤|x₁-x₂|对任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立．
∵|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=2|λ|＞0，
要使m²+tm+2≤|x₁-x₂|对任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立，只要m²+tm+2≤0对任意t∈[-3，3]恒成立，
令g（t）=tm+m²+2，则g（t）是关于t的线性函数．
∴只要

g(-3)≤0

g(3)≤0

解得

1≤m≤2

-2≤m≤-1

，无解
∴不存在实数m，使得不等式m²+tm+2≤|x₁-x₂|对任意t∈[-3，3]，λ∈A恒成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x4+ax3+bx2+c，其图象在y轴上的截距为-5，在区间[0..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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