已知f(x)=2ax-bx+lnx在x=1与x=12处都取得极值．（1）求a，b的值；（2）若对x∈[14，1]时，f（x）＜c恒成立，求实数c的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f(x)=2ax-bx+lnx在x=1与x=12处都取得极值．（1）求a，b的值；（2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知f(x)=2ax-

b

x

+lnx在x=1与x=

1

2

处都取得极值．
（1）求a，b的值；
（2）若对x∈[

1

4

，1]时，f（x）＜c恒成立，求实数c的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f(x)=2ax-

b

x

+lnx，∴f′(x)=2a+

b

x2

+

1

x

，
∵f(x)=2ax-

b

x

+lnx在x=1与x=

1

2

处都取得极值，
∴f'（1）=0，f′(

1

2

)=0．∴

2a+b+1=0

2a+4b+2=0

，解得a=b=-

1

3

；
（2）由（1）可知f(x)=-

2

3

x+

1

3x

+lnx，
令f′(x)=-

2

3

-

1

3x2

+

1

x

=-

(2x-1)(x-1)

3x2

=0，解得x=1或x=

1

2

，
∵x∈[

1

4

，1]，∴f（x）在[

1

4

，

1

2

]上单调递减，在[

1

2

，1]上单调递增．
f(

1

4

)=

7

6

-ln4，f(1)=-

1

3

，而f（

1

4

）-f（1）=（

7

6

-ln4）-（-

1

3

）=

3

2

-ln4＞0，
所以f（

1

4

）＞f（1），即f（x）在[

1

4

，1]上的最大值为

7

6

-ln4．
对x∈[

1

4

，1]时，f（x）＜c恒成立，等价于f（x）_max＜c，即

7

6

-ln4＜c，
所以实数c的取值范围为c＞

7

6

-ln4．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f(x)=2ax-bx+lnx在x=1与x=12处都取得极值．（1）求a，b的值；（2..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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