已知函数f（x）=ex（ax2+x+1）．（Ⅰ）设a＞0，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a=-1，证明：对?x1，x2∈[0，1]，都有|f（x1）-f（x2）|＜2．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ex（ax2+x+1）．（Ⅰ）设a＞0，讨论f（x）的单调..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=e^x（ax²+x+1）．
（Ⅰ）设a＞0，讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a=-1，证明：对?x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．

试题来源：许昌二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵f'（x）=e^x（ax²+x+1+2ax+1）=e^x（x+2）（x+1）．（3分）
令f'（x）＞0，得（x+2）（x+1）＞0，注意到a＞0，
∴当a∈（0，

1

2

）时，f（x）在（-∞，-

1

a

）上是增函数，在（-

1

a

，-2）上是减函数，在（-2，+∞）上递增；
当a=

1

2

时，f（x）在（-∞，+∞）上递增；
当a∈（

1

2

，+∞）时，f（x）在（-∞，-2）上递增，
在（-2，-

1

a

）上递减，在（-

1

a

，+∞）上递增．（8分）
（Ⅱ）∵a=-1，由（Ⅰ）f'（x）=-e^x（x+2）（x-1），
∴f（x）在[0，1]上单调增加，
故f（x）在[0，1]上的最大值为f（1）=e，最小值为f（0）=1．
从而对?x₁，x₂∈[0，1]，都有|f（x₁）-f（x₂）|＜2．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ex（ax2+x+1）．（Ⅰ）设a＞0，讨论f（x）的单调..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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