发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-03 07:30:00
| 试题原文 |
|
| （1）∵f′（x）=λg[λx+（1-λ）a]-λg′（x），-----------------（1分） 由f′（x）＞0得，g[λx+（1-λ）a]＞g′（x）， ∴λx+（1-λ）a＞x，即（1-λ）（x-a）＜0，解得x＜a，-----------------（3分） 故当x＜a时，f′（x）＞0；当x＞a时，f′（x）＜0； ∴当x=a时，f（x）取极大值，但f（x）没有极小值．-----------------（4分） （2）∵|
又当x＞0时，令h（x）=ex-x-1，则h′（x）=ex-1＞0， 故h（x）＞h（0）=0， 因此原不等式化为
令g（x）=ex-（1+a）x-1，则g′（x）=ex-（1+a）， 由g′（x）=0得：ex=（1+a），解得x=ln（a+1）， 当0＜x＜ln（a+1）时，g′（x）＜0；当x＞ln（a+1）时，g′（x）＞0． 故当x=ln（a+1）时，g（x）取最小值g[ln（a+1）]=a-（1+a）ln（a+1），---------------（8分） 令s（a）=
故s（a）＜s（0）=0，即g[ln（a+1）]=a-（1+a）ln（a+1）＜0． 因此，存在正数x=ln（a+1），使原不等式成立．-----------------（10分） （3）对任意正数a1，a2，存在实数x1，x2使a1=e x1，a2=e x2， 则a1λ1?a2λ2=eλ1x1?eλ2x2，λ1a1+λ2a2=λ1ex1+λ2ex2， 原不等式
?g（λ1x1+λ2x2）≤λ1g（x1）+λ2g（x2）-----------------（14分） 由（1）f（x）≤（1-λ）g（a） 故g[λa+（1-λ）a]≤λg（x）+（1-λ）g（a） 令x=x1，a=x2，λ=λ1，1-λ=λ2 从而g（λ1x1+λ2x2）≤λ1g（x1）+λ2g（x2） 故eλ1x1+ λ2x2≤λ1ex1+λ2ex2成立，得证（14分） |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设g（x）=ex，f（x）=g[λx+（1-λ）a]-λg（x），其中a，λ是常数，且0＜λ＜1．..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。