已知函数f(x)=12ax2+2x(a≠0)，g(x)=lnx．（Ⅰ）若h（x）=f（x）-g（x）存在单调增区间，求a的取值范围；（Ⅱ）是否存在实数a＞0，使得方程g(x)x=f′(x)-(2a+1)在区间(1e，e)内有且只有两个不-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=12ax2+2x(a≠0)，g(x)=lnx．（Ⅰ）若h（x）=f（x）-g（x）存在..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-03 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=

1

2

ax2+2x(a≠0)，g(x)=lnx．
（Ⅰ）若h（x）=f（x）-g（x）存在单调增区间，求a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数a＞0，使得方程

g(x)

x

=f′(x)-(2a+1)在区间(

1

e

，e)内有且只有两个不相等的实数根？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由已知，得h（x）=

1

2

ax2+2x-lnx，且x＞0，
则h'（x）=ax+2-

1

x

=

ax2+2x-1

x

，…（2分）
∵函数h（x）存在单调递增区间，∴h'（x）＞0在（0，+∞）上有解，
即不等式ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上有解．
①当a＜0时，y=ax²+2x-1的图象为开口向下的抛物线，对称轴为x=-

1

a

＞0要使ax²+2x-1＞0在（0，+∞）上总有解，只需△=4+4a＞0，即a＞-1．即-1＜a＜0
②当a＞0 时，y=ax²+2x-1的图象为开口向上的抛物线，ax²+2x-1＞0 一定有解．
综上，a的取值范围是（-1，0）∪（0，+∞） …（5分）
（Ⅱ）方程

g(x)

x

=f′(x)-(2a+1)
则

lnx

x

=ax+2-(2a+1)=ax+(1-2a)
即ax²+（1-2a）x-lnx=0…（6分），
设h（x）=ax²+（1-2a）x-lnx．
于是原方程在区间(

1

e

，e)内根的问题，转化为函数h（x）在区间(

1

e

，e)内的零点问题

h′(x)=2ax+(1-2a)-

1

x

=

2ax2+(1-2a)x-1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

当x∈(0，1)时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；

当x∈(1，+∞)时，h′(x)＞0，h(x)是增函数；

…（9分）

若h(x)在(

1

e

，e)内有且只有两个不相等的零点，只须

h(

1

e

)=

a2

e2

+

1-2a

e

+1=

(1-2e)a+e2+e

e2

＞0

h(x)min=h(1)=a+(1-2a)=1-a＜0

h(e)=ae2+(1-2e)a-1=(e2-2e)a+(e-1)＞0

…（12分）
解得1＜a＜

e2+e

2e-1

，所以a的取值范围是(1，

e2+e

2e-1

)…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=12ax2+2x(a≠0)，g(x)=lnx．（Ⅰ）若h（x）=f（x）-g（x）存在..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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