繁体字转换器繁体字网旗下考试题库之数学试题栏目欢迎您！
1、试题题目：（附加题）是否存在常数c，使得不等式x2x+y+z+yx+2y+z+zx+y+2z≤c≤x..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2016-03-15 07:30:00

试题原文

（附加题）是否存在常数c，使得不等式
x
2x+y+z
+
y
x+2y+z
+
z
x+y+2z
≤c≤
x
x+2y+z
+
y
x+y+2z
+
z
2x+y+z

对于任意正数x，y，z恒成立？试证明你的结论．

  试题来源：不详   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：综合法与分析法证明不等式



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
猜测常数c=
3
4
（可以猜测等号当且仅当x=y=z时成立）
左边不等式的证明方法，令
2x+y+z=a
x+2y+z=b
x+y+2z=m
，则
x=
3a-b-m
4
y=
3b-a-m
4
z=
3m-a-b
4
，
∴左边=
3a-b-m
4a
+
3b-a-m
4b
+
3m-a-b
4m
=
9
4
-(
b
4a
+
a
4b
)-(
m
4a
+
a
4m
)-(
b
4m
+
m
4b
)≤
3
4

右边不等式的证明用柯西不等式证明，证法如下：
右边=
x
x+2y+z
+
y
x+y+2z
+
z
2x+y+z
=
x2
x2+2xy+xz
+
y2
yx+y2+2yz
+
z2
2xz+yz+z2

=
(
x2
x2+2xy+xz
+
y2
yx+y2+2yz
+
z2
2xz+yz+z2
)((x2+2xy+xz)+(yx+y2+2yz)+(2xz+yz+z2))
((x2+2xy+xz)+(yx+y2+2yz)+(2xz+yz+z2))
≥
(x+y+z)2
x2+y2+z2+3(xy+yz+xz)
，
于是要证明右边不等式成立，只需证明
(x+y+z)2
x2+y2+z2+3(xy+yz+xz)
≥
3
4
，
即证4（x+y+z）2≥3[x2+y2+z2+3（xy+yz+xz）}
即证：x2+y2+z2≥xy+yz+xz
即证：（x-y）2+（y-z）2+（x-z）2≥0
显然成立，故问题得证．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（附加题）是否存在常数c，使得不等式x2x+y+z+yx+2y+z+zx+y+2z≤c≤x..”的主要目的是检查您对于考点“高中综合法与分析法证明不等式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中综合法与分析法证明不等式”。


4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：

数学试题大全 2016-03-15更新的数学试题 网站地图 | 繁体字网 -- 为探究古典文化架桥，为弘扬中华文明助力！
版权所有： CopyRight © 2010-2014 www.fantiz5.com All Rights Reserved.
联系我们：