已知f(n)=1+12+13+…+1n，n∈n*，求证：（1）当m＜n（m∈N*）时，f(n)-f(m)＞n-mn；（2）当n＞1时，f(2n)＞n+22；（3）对于任意给定的正数M，总能找到一个正整数N0，使得当n＞N0时，有f（n）＞M．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f(n)=1+12+13+…+1n，n∈n*，求证：（1）当m＜n（m∈N*）时，f(n)-f(m..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-15 07:30:00

试题原文

已知f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

，n∈n*，求证：
（1）当m＜n（m∈N^*）时，f(n)-f(m)＞

n-m

n

；
（2）当n＞1时，f(2n)＞

n+2

2

；
（3）对于任意给定的正数M，总能找到一个正整数N₀，使得当n＞N₀时，有f（n）＞M．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：综合法与分析法证明不等式

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）当m＜n时，
f（n）-f（m）=

1

m+1

+

1

m+2

+…+

1

n

≥

1

n

+

1

n

+…+

1

n

=

n-m

n

．
（2）当n＞1时，
f(2n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

=1+

1

2

+(

1

3

+

1

4

)+…+(

1

2n-1+1

+

1

2n-1+2

+…+

1

2n

)＞1+

1

2

+

2

4

+…+

2n-1

2n

=1+

n

2

=

n+2

2

；
（3）∵f(n+1)-f(n)=

1

n+1

＞0，
∴f（n）在N^*上单调递增．
由（2）可知，当n＞1时，f(2n)＞1+

n

2

＞

n

2

．对任意给定的正数M，设M₀是比M大的最小正整数，
取N0=22 M0，则当n＞N₀时，f(n)＞f(N0)=f(22 M0)＞

2 M0

2

=M0＞M．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f(n)=1+12+13+…+1n，n∈n*，求证：（1）当m＜n（m∈N*）时，f(n)-f(m..”的主要目的是检查您对于考点“高中综合法与分析法证明不等式”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中综合法与分析法证明不等式”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：