已知数列{an}满足a1=14，an=an-1(-1)nan-1-2（n≥2，n∈N）．（1）试判断数列{1an+(-1)n}是否为等比数列，并说明理由；（2）设bn=1an2，求数列{bn}的前n项和Sn；（3）设cn=ansin(2n-1)π-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足a1=14，an=an-1(-1)nan-1-2（n≥2，n∈N）．（1）试判断..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足a₁=

1

4

，a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

（n≥2，n∈N）．
（1）试判断数列{

1

an

+(-1)n}是否为等比数列，并说明理由；
（2）设b_n=

1

an2

，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）设c_n=a_nsin

(2n-1)π

2

，数列{c_n}的前n项和为T_n．求证：对任意的n∈N^*，T_n＜

4

7

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵

1

an

=(-1)n-

2

an-1

，
∴

1

an

+(-1)n=(-2)[

1

an-1

+(-1)n-1]，
又∵

1

a1

+(-1)=3，
∴数列{

1

an

+(-1)n}是首项为3，公比为-2的等比数列．
（2）依（1）的结论有

1

an

+(-1)n=3(-2)n-1，
即an=

(-1)n-1

3?2n-1+1

．
b_n=（3?2^n-1+1）²=9?4^n-1+6?2^n-1+1．
Sn=9?

1?(1-4n)

1-4

+6?

1?(1-2n)

1-2

+n=3?4n+6?2n+n-9．
（3）∵sin

(2n-1)π

2

=(-1)n-1，
∴cn=

(-1)n-1

3(-2)n-1-(-1)n

=

1

3?2n-1+1

．
当n≥3时，
则Tn=

1

3+1

+

1

3?2+1

+

1

3?22+1

+…+

1

3?2n-1+1

＜

1

4

+

1

7

+

1

3?22

+

1

3?23

+…+

1

3?2n-1

=

11

28

+

1

12

[1-(

1

2

)n-2]

1-

1

2

=

11

28

+

1

6

[1-(

1

2

)n-2]＜

11

28

+

1

6

=

47

84

＜

48

84

=

4

7

．
∵T₁＜T₂＜T₃，
∴对任意的n∈N^*，Tn＜

4

7

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足a1=14，an=an-1(-1)nan-1-2（n≥2，n∈N）．（1）试判断..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：