数列{an}中，已知a1=56，a2=1936，且a2-a13，a3-a23，…，an+1-an3是公比为12的等比数列．（1）求证数列a2-a12，a3-a22，…，an+1-an2是公比为13的等比数列．（2）求数列{an}的通项公-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}中，已知a1=56，a2=1936，且a2-a13，a3-a23，…，an+1-an..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

数列{a_n}中，已知a1=

5

6

，a2=

19

36

，且a2-

a1

3

，a3-

a2

3

，…，a_n+1-

an

3

是公比为

1

2

的等比数列．
（1）求证数列a2-

a1

2

，a3-

a2

2

，…，an+1-

an

2

是公比为

1

3

的等比数列．
（2）求数列{a_n}的通项公式．
（3）问是否存在除

1

2

，

1

3

以外的实数k，使得数列{a_n+1-ka_n}成等比数列．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意可得：因为a1=

5

6

，a2=

19

36

，
所以a2-

1

3

a1=

1

4

，
又因为a2-

a1

3

，a3-

a2

3

，…，a_n+1-

an

3

是公比为

1

2

的等比数列，
所以an+1-

an

3

=(

1

2

)n+1
所以

an+2-

an+1

2

an+1-

an

2

=

(

1

2

)n+2-

1

6

an+1

(

1

2

)n+1-

1

6

an

=

1

2

[(

1

2

)n+1-

1

3

an+1]

(

1

2

)n+1-

1

6

an

=

1

2

[(

1

2

)n+1-

1

3

(

1

2

)n+1-

1

9

an]

(

1

2

)n+1-

1

6

an

=

1

3

[(

1

2

)n+1-

1

6

an]

(

1

2

)n+1-

1

6

an

=

1

3

，
所以数列a2-

a1

2

，a3-

a2

2

，…，an+1-

an

2

是公比为

1

3

的等比数列．
（2）由（1）可得：an+1-

1

2

an=(

1

3

)n+1，又因为an+1-

1

3

an=(

1

2

)n+1，
所以两式相减得

1

6

an=(

1

2

)n+1-(

1

3

)n+1，
所以an=6[(

1

2

)n+1-(

1

3

)n+1]=3?(

1

2

)n-2?(

1

3

)n，
所以an=3?(

1

2

)n-2?(

1

3

)n．
（3）假设存在这样的k，k≠

1

2

，

1

3

则有an+1-kan=3?(

1

2

)n+1-2?(

1

3

)n+1-3k(

1

2

)n+2k(

1

3

)n=(

3

2

-3k)(

1

2

)n+(2k-

2

3

)(

1

3

)n
所以(

3

2

-3k)(

1

2

)n+1+(2k-

2

3

)(

1

3

)n+1=q(

3

2

-3k)(

1

2

)n+q(2k-

2

3

)(

1

3

)n，
即

(

3

2

-3k)

1

2

=q(

3

2

-3k)

(2k-

2

3

)

1

3

=q(2k-

2

3

)

解得：k=

1

2

或

1

3

，
所以不存在除

1

2

，

1

3

以外的实数k使得数列{a_n+1-ka_n}成等比数列．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}中，已知a1=56，a2=1936，且a2-a13，a3-a23，…，an+1-an..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：