设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-1（n∈N+）．（Ⅰ）求证数列{an}是等比数列，并求{an}的通项公式；（Ⅱ）设数列{nan}的前n项和为Tn，求Tn的表达式；（Ⅲ）对任意n∈N+，试比较Tn2与Sn的-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-1（n∈N+）．（Ⅰ）求证数列{an}是等..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-1（n∈N⁺）．
（Ⅰ）求证数列{a_n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{na_n}的前n项和为T_n，求T_n的表达式；
（Ⅲ）对任意n∈N⁺，试比较

Tn

2

与 S_n的大小．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由S_n=2a_n-1得S_n+1=2a_n+1-1，二式相减得：a_n+1=2a_n+1-2a_n，
∴

an+1

an

=2，∴数列{a_n}是公比为2的等比数列，（3分）
又∵S₁=2a₁-1，∴a₁=1，∴a_n=2^n-1．（5分）
（Ⅱ）∵na_n=n2^n-1，
∴T_n=1?2⁰+2?2¹+3?2²+…+（n-1）?2^n-2+n?2^n-1①
2T_n=1?2+2?2²+…+（n-2）?2^n-2+（n-1）?2^n-1+n?2ⁿ，②（7分）
①-②得-T_n=1+2+4+…+2^n-2+2^n-1-n?2ⁿ=

1-2n

1-2

-n2n=2n-1-n2n，
∴T_n=n2ⁿ-2ⁿ+1=（n-1）2ⁿ+1．（9分）
（Ⅲ）∵Sn=

1-2n

1-2

=2n-1，
∴

Tn

2

-Sn=

1

2

(n2n-2n+1)-(2n-1)=(n-3)2n-1+

3

2

，（11分）
∴当n=1时，

T1

2

-S₁=-

1

2

＜0，当n=2时，

T2

2

-S₂=-

1

2

＜0，；
当n≥3时，

Tn

2

-S_n＞0．（13分）
综上，当n=1或n=2时，

Tn

2

＜Sn；当n≥3时，

Tn

2

＞Sn．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=2an-1（n∈N+）．（Ⅰ）求证数列{an}是等..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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