数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，满足关系3tSn-（2t+3）Sn-1=3t（t＞0，n=2，3，4…）（1）求证：数列{an}为等比数列；（2）设数列{an}的公比为f（t），作数列{bn}，使b1=1，bn=f（1bn-1-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，满足关系3tSn-（2t+3）Sn-1=3t（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，满足关系3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t＞0，n=2，3，4…）
（1）求证：数列{a_n}为等比数列；
（2）设数列{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}，使b₁=1，b_n=f（

1

bn-1

），（n=2，3，4…），求b_n
（3）求T_n=（b₁b₂-b₂b₃）+（b₃b₄-b₄b₅）+…+（b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1）的值．

试题来源：扬州二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证：∵3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t，3tS_n+1-（2t+3）S_n=3t（n≥2），两式相减得3ta_n+1-（2t+3）a_n=0
又t＞0
∴

an+1

an

=

2t+3

3t

（n≥2），
又当n=2时，3tS₂-（2t+3）S₁=3t，
即3t（a₁+a₂）-（2t+3）a₁=3t，得a2=

2t+3

3t

，
即

a2

a1

=

2t+3

3t

，
∴

an+1

an

=

2t+3

3t

（n≥1），
∴{a_n}为等比数列
（2）由已知得，f（t）=

2t+3

3t

∴b_n=f（

1

bn-1

）=

3+

2

bn-1

3

bn-1

=

2

3

+b_n-1（n≥2，n∈N^*）．
∴{b_n}是一个首项为1，公差为

2

3

的等差数列．
于是b_n=

2

3

n+

1

3

（3）T_n=b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）=-2（b₂+b₄+…+b_2n）
=-2d（b₂+b₄+…+b_2n）
=-2×

2

3

[

5n

3

+

n(n-1)

2

×

4

3

]
=-

8n2

9

-

4n

3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，满足关系3tSn-（2t+3）Sn-1=3t（..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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