数列bn+1=12bn+14，且b1=72，Tn为{bn}的前n项和．（1）求证：数列{bn-12}是等比数列，并求{bn}的通项公式；（2）如果{bn}对任意n∈N*，不等式12k(12+n-2Tn)≥2n-7恒成立，求实数k的取-数学试题及答案

1、试题题目：数列bn+1=12bn+14，且b1=72，Tn为{bn}的前n项和．（1）求证：数列{bn..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

数列bn+1=

1

2

bn+

1

4

，且b1=

7

2

，Tn为{bn}的前n项和．
（1）求证：数列{bn-

1

2

}是等比数列，并求{b_n}的通项公式；
（2）如果{b_n}对任意n∈N*，不等式

12k

(12+n-2Tn)

≥2n-7恒成立，求实数k的取值范围．

试题来源：惠州模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：对任意n∈N^*，都有bn+1=

1

2

bn+

1

4

，所以bn+1-

1

2

=

1

2

(bn-

1

2

)…（1分）
则数列{bn-

1

2

}成等比数列，首项为b1-

1

2

=3，公比为

1

2

…（2分）
所以bn-

1

2

=3×(

1

2

)n-1，
∴bn=3×(

1

2

)n-1+

1

2

…（4分）
（2）因为bn=3×(

1

2

)n-1+

1

2

所以Tn=3×

1-

1

2n

1-

1

2

+

n

2

=6(1-

1

2n

)+

n

2

…（6分）
因为不等式

12k

(12+n-2Tn)

≥2n-7，化简得k≥

2n-7

2n

对任意n∈N^*恒成立…（7分）
设cn=

2n-7

2n

，则cn+1-cn=

9-2n

2n+1

…（9分）
当n≥5，c_n+1≤c_n，{c_n}为单调递减数列，当1≤n＜5，c_n+1＞c_n，{c_n}为单调递增数列
∵c4=

1

16

，c5=

3

32

，∴c₄＜c₅，∴n=5时，c_n取得最大值

3

32

…（11分）
所以，要使k≥

2n-7

2n

对任意n∈N^*恒成立，k≥

3

32

…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列bn+1=12bn+14，且b1=72，Tn为{bn}的前n项和．（1）求证：数列{bn..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：