（1）已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若Sn=14（an+1）2．①求{an}的通项公式；②设m，k，p∈N*，m+p=2k，求证：1Sm+1Sp≥2Sk（2）若{an}是等差数列，前n项和为Tn，求证：对任意-数学试题及答案

1、试题题目：（1）已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若Sn=14（an+1）2．①..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

（1）已知数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，若S_n=

1

4

（a_n+1）²．
①求{a_n}的通项公式；
②设m，k，p∈N^*，m+p=2k，求证：

1

Sm

+

1

Sp

≥

2

Sk

（2）若{a_n}是等差数列，前n项和为T_n，求证：对任意n∈N^*，T_n，T_n+1，T_n+2不能构成等比数列．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）①由S_n=

1

4

(an+1)2，可得Sn+1=

1

4

(an+1+1)2，
两式相减得an+1=

1

4

(an+1-an)(an+1+an+2)，
化为（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0．
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n-2=0，即a_n+1-a_n=2．
∴数列{a_n}是公差为2的等差数列．
又a1=S1=

1

4

(a1+1)2，化为(a1-1)2=0，解得a₁=1．
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
②由①知Sn=

n(1+2n-1)

2

=n2，
∴

1

Sm

+

1

Sp

-

2

Sk

=

1

m2

+

1

p2

-

2

k2

=

k2(m2+p2)-2m2p2

m2p2k2

，
又∵m，k，p∈N^*，m+p=2k，∴k=

m+p

2

．
∴

1

Sm

+

1

Sp

-

2

Sk

=

(

m+p

2

)2(m2+p2)-2m2p2

m2p2k2

≥

(

mp

)2(2mp)-2m2p2

m2p2k2

=0，
∴

1

Sm

+

1

Sp

≥

2

Sk

成立．
（2）由{a_n}是等差数列，设公差为d，
假设存在m∈N^*，Tm ，T_m+1，T_m+2构成等比数列．即

T

2m+1

=Tm?Tm+2．
∴(Tm+am+1)2=Tm(Tm+am+1+am+2)，
化为dT_m=

a

2m+1

，即

a

21

+mda1+

1

2

m(m+1)d2=0（*）
若d=0，则a₁=0，∴T_m=T_m+1=T_m+2=0，这与Tm ，T_m+1，T_m+2构成等比数列矛盾．
若d≠0，要使（*）式中的首项a₁存在，必须△≥0，
然而△=m²d²-2m（m+1）d²=-（m²+2m）d²＜0，矛盾．
综上所述，对任意n∈N^*，T_n，T_n+1，T_n+2不能构成等比数列．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（1）已知数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若Sn=14（an+1）2．①..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：