数列{an}中，a1=1，an+1=2an-n2+3n，（n∈N*）．（Ⅰ）试求λ、μ的值，使得数列{an+λn2+μn}为等比数列；（Ⅱ）设数列{bn}满足：bn=1an+n-2n-1，Sn为数列{bn}的前n项和，证明：n≥2时，6n(n-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}中，a1=1，an+1=2an-n2+3n，（n∈N*）．（Ⅰ）试求λ、μ的值，使..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n-n²+3n，（n∈N^*）．
（Ⅰ）试求λ、μ的值，使得数列{a_n+λn²+μn}为等比数列；
（Ⅱ）设数列{b_n}满足：bn=

1

an+n-2n-1

，S_n为数列{b_n}的前n项和，证明：n≥2时，

6n

(n+1)(2n+1)

＜Sn＜

5

3

．

试题来源：湛江二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）若{a_n+λn²+μn}为等比数列，
则存在q≠0，使a_n+1+λ（n+1）²+μ（n+1）=q（a_n+λn²+μn）对?n∈N^*成立．
由已知：a_n+1=2a_n-n²+3n，代入上式，
整理得（q-2）a_n+（λq-λ+1）n²+（μq-2λ-μ-3）n-λ-μ=0①
∵①式对?n∈N^*成立，
∴

q-2=0

λq-λ+1=0

μq-2λ-μ-3=0

-λ-μ=0

解得

q=2

λ=-1

μ=1

∴当λ=-1，μ=1时，数列{a_n+λn²+μn}是公比为2的等比数列；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得：a_n-n²+n=（a₁-1²+1）?2^n-1，即a_n=2^n-1+n²-n
所以bn=

1

an+n-2n-1

=

1

n2

∵bn=

1

n2

＜

1

n2-

1

4

=

1

n-

1

2

-

1

n+

1

2

n≥2时，s_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n＜1+(

1

3

2

-

1

5

2

)+(

1

5

2

-

1

7

2

)+…+(

1

n-

1

2

-

1

n+

1

2

)=1+

2

3

-

1

n+

1

2

＜

5

3

（1）
现证：Sn＞

6n

(n+1)(2n+1)

（n≥2）
n≥2时，

1

6

n（n+1）（2n+1）s_n=（1²+2²+3²+…+n²）（

1

12

+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

）＞（1+1+1+…+1）²（n个1）=n²
∴Sn＞

6n

(n+1)(2n+1)

（2）
根据（1）（2）可知

5

3

＞Sn＞

6n

(n+1)(2n+1)

对于n≥2，n∈N^*都成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}中，a1=1，an+1=2an-n2+3n，（n∈N*）．（Ⅰ）试求λ、μ的值，使..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：