已知一非零的向量列an满足：a1=(1，1)，an=(xn，yn)=12(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)．（1）计算|a1|，|a2|，|a3|；证明：数列{|an|}是等比数列；（2）设θn（n≥2）是an-1，an的夹角的弧-数学试题及答案

1、试题题目：已知一非零的向量列an满足：a1=(1，1)，an=(xn，yn)=12(xn-1-yn-1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知一非零的向量列

an

满足：

a1

=(1，1)，

an

=(xn，yn)=

1

2

(xn-1-yn-1，xn-1+yn-1)(n≥2)．
（1）计算|

a1

|，|

a2

|，|

a3

|；证明：数列{|

an

|}是等比数列；
（2）设θ_n（n≥2）是

an-1

，

an

的夹角的弧度数，bn=

π

4n(n-1)θn

，Sn=b2+b3+…+bn，求S2013．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵非零向量列{

an

}满足：

a1

=（1，1），

an

=（x_n，y_n）=

1

2

（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）（n≥2），
∴

a1

=（1，1），

a2

=

1

2

（0，2）=（0，1），

a3

=

1

2

（-1，1）=（-

1

2

，

1

2

），
∴|

a1

|=

12+12

=

2

，|

a2

|=

02+12

=1，|

a3

|=

(-

1

2

)2+(

1

2

)2

=

2

．
∵|

an

|=

xn2+yn2

，
∴|

an+1

|=

xn+12+yn+12

=

(

xn-yn

2

)2+(

xn+yn

2

)2

=

2

xn2+yn2

，
∴

|

an+1

|

an

|

=

2

（常数），
∴{|

an

|}是首项|

a1

|=

2

，公比q=

2

的等比数列．
（2）∵

an-1

?

an

=（x_n-1，y_n-1）?

1

2

（x_n-1-y_n-1，x_n-1+y_n-1）
=

1

2

（xn-12+yn-12）=

1

2

|

an-1

|²，
∴cosθ_n=

an-1

?

an

|

an-1

|?|

an

|

=

1

2

|

an-1

|

an

|

=

2

，
∴θ_n=

π

4

，n≥2．
∴b_n=

π

4n(n-1)θn

=

π

4n(n-1)?

π

4

=

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴S_n=b₂+b₃+…+b_n
=（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）
=1-

1

n

．
∴S₂₀₁₃=1-

1

2013

=

2012

2013

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知一非零的向量列an满足：a1=(1，1)，an=(xn，yn)=12(xn-1-yn-1..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：