已知数列{an}的前n项和为{Sn}，又有数列{bn}满足关系b1=a1，对n∈N*，有an+Sn=n，bn+1=an+1-an（1）求证：{bn}是等比数列，并写出它的通项公式；（2）是否存在常数c，使得数列{Sn+-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为{Sn}，又有数列{bn}满足关系b1=a1，对n∈..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为{S_n}，又有数列{b_n}满足关系b₁=a₁，对n∈N^*，有a_n+S_n=n，b_n+1=a_n+1-a_n
（1）求证：{b_n}是等比数列，并写出它的通项公式；
（2）是否存在常数c，使得数列{S_n+cn+1}为等比数列？若存在，求出c的值；若不存在，说明理由．

试题来源：湖北模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由an+Sn=n?a1+S1=1?a1=

1

2

，又

an+1+Sn+1=n+1

an+Sn=n

?2an+1=an+1

（3分）
∴

bn+1

bn

=

an+1-an

an-an-1

=

an+1

2

-an

an-(2an-1)

=

1

2

，
∴数列{b_n}为等比数列，且bn=(

1

2

)n（6分）
（2）a_n+b_n=a_n+a_n-a_n-1=2a_n-a_n-1，∴an+bn=1?an=1-(

1

2

)n（8分）
∴Sn=n-an=n-1+(

1

2

)n?Sn-n+1=(

1

2

)n（10分）
依题意，存在c=-1，使得数列{S_n+cn+1}为等比数列．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为{Sn}，又有数列{bn}满足关系b1=a1，对n∈..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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