已知数列{an}的前n项和Sn，对任意n∈N*，满足（1-r）Sn=1-an+1，（r＞0），a1=1，（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）设bn=a2n-1+a2n，Sn=b1+b2+…+bn，求limn→∞1Sn．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和Sn，对任意n∈N*，满足（1-r）Sn=1-an..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和S_n，对任意n∈N^*，满足（1-r）S_n=1-a_n+1，（r＞0），a₁=1，
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）设b_n=a_2n-1+a_2n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求

lim

n→∞

1

Sn

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为数列{a_n}的前n项和S_n，对任意n∈N^*，满足（1-r）S_n=1-a_n+1，（r＞0），a₁=1，
所以（1-r）S_n-1=1-a_n，所以（1-r）a_n=-a_n+1+a_n，
所以

an+1

an

=r，
所以数列{a_n}是以1为首项以r为公比的等比数列．
（2）由（1）可知，a_n=r^n-1．
又b_n=a_2n-1+a_2n，S_n=b₁+b₂+…+b_n=a₁+a₂+a₃+a₄+…+a_2n-1+a_2n=

2n r=1

1-r2n

1-r

r≠1

，
当1＞r＞0时，

lim

n→∞

1

Sn

=

lim

n→+∞

1-r

1-r2n

=1-r．
当r=1时

lim

n→∞

1

Sn

=

lim

n→∞

1

2n

=0；
当r＞1时，

lim

n→∞

1

Sn

=

lim

n→+∞

1-r

1-r2n

=0．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和Sn，对任意n∈N*，满足（1-r）Sn=1-an..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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