已知数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），点（an，Sn）在直线y=2x-3n上．（Ⅰ）求证：数列{an+3}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）数列{an}中是否存在成等差数列的三项？若存在，求-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），点（an，Sn）在直线y=2x-3n上．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），点（a_n，S_n）在直线y=2x-3n上．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+3}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）数列{a_n}中是否存在成等差数列的三项？若存在，求出一组合适条件的三项；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由题意知S_n=2a_n-3n
∴a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-3（n+1）-2a_n+3n∴a_n+1=2a_n+3（2分）
∴a_n+1+3=2（a_n+3）
∴

an+1+3

an+3

=2，又a₁=S₁=2a₁-3a₁=3
∴a₁+3=6（4分）
∴数列{a_n+3}成以6为首项以2为公比的等比数列
（Ⅱ）由（I）得a_n+3=b?2^n-1=3?2ⁿ
∴a_n=3?2ⁿ-3
（Ⅲ）设存在s、p、r∈N^*且s＜p＜r使a_s，a_p，a_r成等差数列
∴2a_p=a_s+a_r∴2（3?2^p-3）=3?2^s-3+3?2^r-3∴2^p+1=2^s+2^r（9分）
即2^p-s+1=1+2^r-s（*）
∵s、p、r∈N^*且s＜p＜r
∴2^p-s+1为偶数，1+2^r-s为奇数
∴（*）为矛盾等式，不成立故这样的三项不存在（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），点（an，Sn）在直线y=2x-3n上．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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