在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．（1）证明：数列{an-n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）记bn=nan-n，数列{bn}的前n项和为Sn，求证：Sn+bn＞169．-数学试题及答案

1、试题题目：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．（1）证明：数列{an-n}是..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

在数列{a_n}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．
（1）证明：数列{a_n-n}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）记bn=

n

an-n

，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：Sn+bn＞

16

9

．

试题来源：安徽模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵数列{a_n}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*，
∴an+1-(n+1)=4(an-n)，n∈N*，a₁-1=1，
∴数列{a_n-n}是首项为1，且公比为4的等比数列，
∴an-n=1×4n-1，an=4n-1+n．
（2）由（1）得bn=

n

an-n

=

n

4n-1

，
∴Sn=1+2×

1

4

+3×

1

42

+…+(n-1)×

1

4n-2

+n×

1

4n-1

，
则

1

4

Sn=1×

1

4

+2×

1

42

+…+(n-1)×

1

4n-1

+n×

1

4n

，
相减得

3

4

Sn=(1+

1

4

+

1

42

+…+

1

4n-1

)-n×

1

4n

=

4

3

(1-

1

4n

)-n×

1

4n

，
∴Sn=

16

9

(1-

1

4n

)-

n

3×4n-1

，
∴Sn+bn=

16

9

-

16

9

×

1

4n

-

n

3×4n-1

+

n

4n-1

=

16

9

+

1

3×4n-1

?(2n-

4

3

)，
∵n≥1，∴2n-

4

3

＞0，
∴Sn+bn＞

16

9

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．（1）证明：数列{an-n}是..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：