设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的n∈N+，都有Sn=（m+1）-man（m为正常数）．（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）数列{bn}满足b1=2a1，bn=bn-11+bn-1，（n≥2，n∈N*），求数列{bn}的通项-数学试题及答案

1、试题题目：设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的n∈N+，都有Sn=（m+1）-man（m为正..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

设S_n为数列{a_n}的前n项和，对任意的n∈N₊，都有S_n=（m+1）-ma_n（m为正常数）．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）数列{b_n}满足b₁=2a₁，bn=

bn-1

1+bn-1

，（n≥2，n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式；
（3）在满足（2）的条件下，求数列{

2n+1

bn

}的前n项和T_n．

试题来源：惠州模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）∵S_n=（m+1）-ma_n…①
∴S_n+1=（m+1）-ma_n+1，…②
②-①得
a_n+1=-ma_n+1+ma_n，即（m+1）a_n+1=ma_n，
即

an+1

an

=

m

m+1

∴数列{a_n}是等比数列；
（2）∵n≥2，n∈N^*时，bn=

bn-1

1+bn-1

，
∴b_n?b_n-1=b_n-1?b_n
∴

1

bn

-

1

bn-1

=1
又∵n=1时，S₁=a₁=（m+1）-ma₁，
∴a₁=1，b₁=2a₁=2，

1

b1

=

1

2

∴数列{

1

bn

}是一个以

1

2

为首项，以1为公式差的等差数列
∴

1

bn

=n-

1

2

∴b_n=

2

2n-1

（3）∵

2n+1

bn

=（2n-1）2ⁿ
∴T_n=1?2¹+3?2²+5?2³…+（2n-1）2ⁿ…①
2T_n=1?2²+3?2³…+（2n-3）2ⁿ+（2n-1）2ⁿ⁺¹…②
②-①得：
T_n=-2-2（2²+2³…+2ⁿ）+（2n-1）2ⁿ⁺¹=6+（2n-3）2ⁿ⁺¹

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设Sn为数列{an}的前n项和，对任意的n∈N+，都有Sn=（m+1）-man（m为正..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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