等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，S5=a32（1）求{an}的通项公式．（2）求证：对于任意的正整数m，l，数列am，am+l，am+2l都不可能为等比数列．（3）若对-数学试题及答案

1、试题题目：等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

等差数列{a_n}是递增数列，前n项和为S_n，且a₁，a₂，a₅成等比数列，S₅=a₃²
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）求证：对于任意的正整数m，l，数列a_m，a_m+l，a_m+2l都不可能为等比数列．
（3）若对于任意给定的正整数m，都存在正整数l，使数列a_m，a_m+l，a_m+kl为等比数列，求正常数k的取值集合．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由等差数列{a_n}是递增数列，可设{a_n}的公差为d（d＞0），
∵a₁，a₂，a₅成等比数列，S₅=a₃²，
∴

a22=a1a5

5a3=a32

，
解得

a1=1

d=2

，∴a_n=2n-1．
（2）假设存在正整数m，l，使数列a_m，a_m+l，a_m+2l为等比数列，
则a_m+l²=a_ma_m+2l，而a_n=2n-1，
∴[2（m+l）-l]²=（2m-1）[2（m+2l）-l]，
解得l=0，与l为正整数矛盾，故假设不成立，
对于任意的正整数m，l，数列a_m，a_m+l，a_m+2l都不可能为等比数列．
（3）∵a_m=2m-1，a_m+l=2m+2l-1，a_m+kl=2m+2kl-1，
数列a_m，a_m+l，a_m+kl为等比数列的充要条件是（2m+2l-1）²=（2m-1）（2m+2kl-1），
∴4（2m-1）l+4l²=（2m-1）2kl，
∵l为正整数，∴2（2m-1）+2l=（2m-1）k，
即（2m-1）（k-2）=2l，
对于任意给定的正整数m，2m-1为奇数，而2l为偶数，
∴k-2为偶数，
记k-2=2t（t∈N⁺），
即k=2+2t，t∈N⁺，
此时l=（2m-1）t∈N⁺，
综上所述，正整数k的取值集合为{k|k=2+2t，t∈N^*}．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且a1，a2，a5成等比数列，..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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