已知数列{xn}，{yn}满足x1=x2=1，y1=y2=2，并且xn+1xn=λxnxn-1，yn+1yn≥λynyn-1（λ为非零参数，n=2，3，4，…）．（1）若x1，x3，x5成等比数列，求参数λ的值；（2）当λ＞0时，证明xn+-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{xn}，{yn}满足x1=x2=1，y1=y2=2，并且xn+1xn=λxnxn-1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{x_n}，{y_n}满足x₁=x₂=1，y₁=y₂=2，并且

xn+1

xn

=λ

xn

xn-1

，

yn+1

yn

≥λ

yn

yn-1

（λ为非零参数，n=2，3，4，…）．
（1）若x₁，x₃，x₅成等比数列，求参数λ的值；
（2）当λ＞0时，证明

xn+1

yn+1

≤

xn

yn

(n∈N*)；当λ＞1时，证明

x1-y1

x2-y2

+

x2-y2

x3-y3

+…+

xn-yn

xn+1-yn+1

＜

λ

λ-1

(n∈N*)．

试题来源：天津试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知x₁=x₂=1，且_{x3
x2
=λx2
x1}∴x₃=λ，同理可知x₄=λ³，x₅=λ⁶，若x₁、x₃、x₅成等比数列，则x₃²=x₁x₅，即λ²=λ⁶．而λ≠0，解得λ=±1．
（2）证明：（Ⅰ）由已知λ＞0，x₁=x₂=1及y₁=y₂=2，可得x_n＞0，y_n＞0．由不等式的性质，有_{yn+1
yn
≥λyn
yn-1≥λ 2yn-1
yn-2…≥
λ n-1y2
y1}=λ^n-1；
另一方面，

xn+1

xn

=λ

xn

xn-1

_{=λ 2xn-1
xn-2…λ n-1x2
x1}=λ^n-1．
因此，

yn+1

yn

≥λ n-1_=xn+1
xn（n∈N^*）．故

xn+1

yn+1

≤

xn

yn

（n∈N^*）．
（Ⅱ）当λ＞1时，由（Ⅰ）可知，y_n＞x_n≥1（n∈N^*）．
又由（Ⅰ）

xn+1

yn+1

≤

xn

yn

（n∈N^*），则

yn+1-xn+1

xn+1

_≥yn-xn
xn，
从而

yn+1-xn+1

yn-xn

_≥xn+1
xn（n∈N^*）．
_{∴x1-y1
x2-y2
+x2-y2
x3-y3
+…+xn-yn
xn+1-yn+1
=1-(1
λ
)2
1-1
λ
＜λ
λ-1
(n∈N*)}

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{xn}，{yn}满足x1=x2=1，y1=y2=2，并且xn+1xn=λxnxn-1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：