已知数列{an}为各项均为正的等比数列，其公比为q．（1）当q=32时，在数列{an}中：①最多有几项在1～100之间？②最多有几项是1～100之间的整数？（2）当q＞1时，在数列{an}中，最多有几项是-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}为各项均为正的等比数列，其公比为q．（1）当q=32时，在..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}为各项均为正的等比数列，其公比为q．
（1）当q=

3

2

时，在数列{a_n}中：
①最多有几项在1～100之间？
②最多有几项是1～100之间的整数？
（2）当q＞1时，在数列{a_n}中，最多有几项是100～1000之间的整数？（参考数据：lg3=0.477，lg2=0.301）．

试题来源：南通一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）①不妨设a₁≥1，设数列a_n有n项在1和100之间，则a1?(

3

2

)n-1≤100．所以，(

3

2

)n-1≤100．
两边同取对数，得（n-1）（lg3-lg2）≤2．解之，得n≤12.37．
故n的最大值为12，即数列a_n中，最多有12项在1和100之间．（5分）
②不妨设1≤a₁＜a1?

3

2

＜a1?(

3

2

)2＜＜a1?(

3

2

)n-1≤100，其中a₁，a1?

3

2

，a1?(

3

2

)2，，a1?(

3

2

)n-1均为整数，所以a₁为2^n-1的倍数．所以3^n-1≤100，所以n≤5．（8分）
又因为16，24，36，54，81是满足题设要求的5项．
所以，当q=

3

2

时，最多有5项是1和100之间的整数．（10分）
（2）设等比数列aq^n-1满足100≤a＜aq＜＜aq^n-1≤1000，
其中a，aq，，aq^n-1均为整数，n∈N^*，q＞1，显然，q必为有理数．（11分）
设q=

t

s

，t＞s≥1，t与s互质，
因为aq^n-1=a(

t

s

)n-1为整数，所以a是s^n-1的倍数．（12分）
令t=s+1，于是数列满足100≤a＜a?

s+1

s

＜＜a?(

s+1

s

)n-1≤100．
如果s≥3，则1000≥a?(

s+1

s

)n-1≥（q+1）n-1≥4n-1，所以n≤5．
如果s=1，则1000≥a?2^n-1≥100?2^n-1，所以，n≤4．
如果s=2，则1000≥a?(

3

2

)n-1≥100?(

3

2

)n-1，所以n≤6．（13分）
另一方面，数列128，192，288，432，648，972满足题设条件的6个数，
所以，当q＞1时，最多有6项是100到1000之间的整数．（16分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}为各项均为正的等比数列，其公比为q．（1）当q=32时，在..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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