设数列{an}，{bn}满足：a1=4，a2=52，an+1=an+bn2，bn+1=2anbnan+bn．（1）用an表示an+1；并证明：?n∈N+，an＞2；（2）证明：{lnan+2an-2}是等比数列；（3）设Sn是数列{an}的前n项和-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}，{bn}满足：a1=4，a2=52，an+1=an+bn2，bn+1=2anbnan+..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}，{b_n}满足：a₁=4，a₂=

5

2

，an+1=

an+bn

2

，bn+1=

2anbn

an+bn

．
（1）用a_n表示a_n+1；并证明：?n∈N₊，a_n＞2；
（2）证明：{ln

an+2

an-2

}是等比数列；
（3）设S_n是数列{a_n}的前n项和，当n≥2时，S_n与2(n+

4

3

)是否有确定的大小关系？若有，加以证明；若没有，请说明理由．

试题来源：济南二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由已知得a₁=4，a₂=

5

2

，所以b₁=1故a_n+1b_n+1=a_nb_n═a₁b₁=4；
由已知：a_n＞0，a₁＞2，a₂＞2，bn=

4

an

∴an+1=

an

2

+

2

an

，
由均值不等式得a_n+1＞2
故?n∈N₊，a_n＞2

（2）

an+1+2

an+1-2

=(

an+2

an-2

)2，an+1+2=

(an+2)2

2an

，
an+1-2=

(an-2)2

2an

所以ln

an+1+2

an+1-2

=2ln

an+2

an-2

，所以{ln

an+2

an-2

}是等比数列

（3）由（2）可知ln

an+2

an-2

=(ln3)×2n-1=ln32n-1∴an=

32n-1+1

32n-1-1

设Cn=

4

32n-1

=

4

(32n-2)(32n-2)

＜

1

4

Cn-1，（n≥2）
Cn＜

1

4

Cn-1＜(

1

4

)2Cn-2＜＜(

1

4

)n-1C1=2(

1

4

)n-1
∴当n≥2时，an＜2+2(

1

4

)n-1
Sn=a1+a2++an＜4+2(n-1)+2[

1

4

+(

1

4

)2++(

1

4

)n-1]
=2n+2+2×

1

4

(1-

1

4n-1

)

1-

1

4

=2n+2+

2

3

(1-

1

4n-1

)＜2n+

8

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}，{bn}满足：a1=4，a2=52，an+1=an+bn2，bn+1=2anbnan+..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：