已知数列{an}满足：a1=1，nan+1=2（n十1）an+n（n+1），（n∈N*），（I）若bn=ann+1，试证明数列{bn}为等比数列；（II）求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足：a1=1，nan+1=2（n十1）an+n（n+1），（n∈N*），（I）若..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足：a₁=1，na_n+1=2（n十1）a_n+n（n+1），（n∈N^*），
（I）若bn=

an

n

+1，试证明数列{b_n}为等比数列；
（II）求数列{a_n}的通项公式a_n与前n项和Sn．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：∵na_n+1=2（n+1）a_n+n（n+1），∴

an+1

n+1

=

2an

n

+1，…（2分）
∴

an+1

n+1

+1=

2an

n

+2=2(

an

n

+1)，即b_n+1=2b_n，
又b₁=2，所以{b_n}是以2为首项，2为公比的等比数列．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知bn=2n，∴

an

n

+1=2n，∴an=n(2n-1)，…（8分）
∴

S

n

=1×(2-1)+2×(22-1)+3×(23-1)+…+n(2n-1)=1×2+2×2²+3×2³+…+n?2ⁿ-（1+2+3+…+n）=1×2+2×22+3×23+…+n?2n-

n(n+1)

2

．…（10分）
令Tn=1×2+2×22+3×23+…+n?2n，
则2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n?2n+1，
两式相减得：-Tn=2+22+23+…+2n-n?2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n?2n+1，Tn=2(1-2n)+n?2n+1=(n-1)?2n+1+2．…（12分）
∴Sn=(n-1)?2n+1+2-

n(n+1)

2

．…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足：a1=1，nan+1=2（n十1）an+n（n+1），（n∈N*），（I）若..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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