数列{an}满足a1=2，an+1=an2+6an+6（n∈N×）（Ⅰ）设Cn=log5（an+3），求证{Cn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）设bn=1an-6-1a2n+6an，数列{bn}的前n项的和为Tn，求证：-516-数学试题及答案

1、试题题目：数列{an}满足a1=2，an+1=an2+6an+6（n∈N×）（Ⅰ）设Cn=log5（an+3），求..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

数列{a_n}满足a1=2，a_n+1=a_n²+6a_n+6（n∈N^×）
（Ⅰ）设C_n=log₅（a_n+3），求证{C_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设bn=

1

an-6

-

1

a

2n

+6an

，数列{b_n}的前n项的和为T_n，求证：-

5

16

≤Tn≤-

1

4

．

试题来源：天津模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由a_n+1=a_n²+6a_n+6得a_n+1+3=（a_n+3）²，
∴

log

(an+1+3)5

=2

log

(an+3)5

，即c_n+1=2c_n
∴{c_n}是以2为公比的等比数列．
（Ⅱ）又c₁=log₅5=1，
∴c_n=2^n-1，即

log

(an+3)5

=2^n-1，
∴a_n+3=52n-1
故a_n=52n-1-3
（Ⅲ）∵b_n=

1

an-6

-

1

an2+6an

=

1

an-6

-

1

an+1-6

，∴T_n=

1

a1-6

-

1

an+1-6

=-

1

4

-

1

52n-9

．
又0＜

1

52n-9

≤

1

52-9

=

1

16

．
∴-

5

16

≤T_n＜-

1

4

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“数列{an}满足a1=2，an+1=an2+6an+6（n∈N×）（Ⅰ）设Cn=log5（an+3），求..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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