已知数列{an}中，a1=3，an+1=2an-1（n≥1）．（Ⅰ）设bn=an-1（n=1，2，3，…），求证：数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）设cn=2nan?an+1，求证：数列{cn}的前n项和Sn＜13．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}中，a1=3，an+1=2an-1（n≥1）．（Ⅰ）设bn=an-1（n=1，2，3..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n-1（n≥1）．
（Ⅰ）设b_n=a_n-1（n=1，2，3，…），求证：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）设c_n=

2n

an? an+1

，求证：数列{c_n}的前n项和S_n＜

1

3

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（Ⅰ）∵a_n+1=2a_n-1，∴a_n+1-1=2（a_n-1）
∵b_n=a_n-1，∴b_n+1=2b_n，
∵a₁=3，∴b₁=a₁-1=2≠0，∴数列{b_n}是等比数列
（Ⅱ）由（Ⅰ）b_n=2ⁿ，∴a_n=2ⁿ+1
∴c_n=

2n

an?an+1

=

1

2n+1

-

1

2n+1+1

∴T_n=（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

9

）+…+（

1

2n+1

-

1

2n+1+1

）=

1

3

-

1

2n+1+1

＜

1

3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}中，a1=3，an+1=2an-1（n≥1）．（Ⅰ）设bn=an-1（n=1，2，3..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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