已知数列{an}满足：a1=2且an+1=2(n+1)anan+n（n∈N*）（1）求证：数列{nan-1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）证明：a11+a22+a33+…+ann＜n+2（n∈N*）．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}满足：a1=2且an+1=2(n+1)anan+n（n∈N*）（1）求证：数列{n..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}满足：a₁=2且an+1=

2(n+1)an

an+n

（n∈N^*）
（1）求证：数列{

n

an

-1}为等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：

a1

1

+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

＜n+2（n∈N^*）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（本小题满分14分）
（1）由题得：a_n+1（a_n+n）=2（n+1）a_n，
即a_na_n+1+na_n+1=2（n+1）a_n，
故2(

n+1

an+1

-1)=

n

an

-1即数列{

n

an

-1}为等比数列，…（3分）
∴

n

an

-1=(-

1

2

)(

1

2

)n-1=-(

1

2

)n，
∴an=n+

n

2n-1

…（7分）
（2）由（1）知

an

n

=1+

1

2n-1

…（8分）
∴

a1

1

+

a2

2

+

a3

3

+…+

an

n

≤n+

1

20

+

1

21

+

1

22

+…+

1

2n-1

=n+

[1-(

1

2

)n]

1-

1

2

=n+2-(

1

2

)n-1

＜n+2

…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}满足：a1=2且an+1=2(n+1)anan+n（n∈N*）（1）求证：数列{n..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：