已知f（x）=logmx（m为常数，m＞0且m≠1），设f（a1），f（a2），…，f（an）（n∈N+）是首项为4，公差为2的等差数列．（1）求证：数列{an}是等比数列；（2）若bn=anf（an），记数列{bn}的前n项和为S-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=logmx（m为常数，m＞0且m≠1），设f（a1），f（a2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知f（x）=log_mx（m为常数，m＞0且m≠1），设f（a₁），f（a₂），…，f（a_n）（n∈N₊）是首项为4，公差为2的等差数列．
（1）求证：数列{a_n}是等比数列；
（2）若b_n=a_nf（a_n），记数列{b_n}的前n项和为S_n，当m=

2

时，求S_n；
（3）若c_n=a_nlga_n，问是否存在实数m，使得{c_n}中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出实数m的取值范围．

试题来源：惠州一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意f（a_n）=4+2（n-1）=2n+2，即log_ma_n=2n+2，
∴a_n=m²ⁿ⁺²
∴

an+1

an

=

m2(n+1)+2

m2n+2

=m2
∵m＞0且m≠1，
∴m²为非零常数，
∴数列{a_n}是以m⁴为首项，m²为公比的等比数列
（2）由题意b_n=a_nf（a_n）=m²ⁿ⁺²log_mm²ⁿ⁺²=（2n+2）?m²ⁿ⁺²，
当m=

2

时，bn=(2n+2)?2n+1=(n+1)?2n+2
∴S_n=2?2³+3?2⁴+4?2⁵+…+（n+1）?2ⁿ⁺²①
①式乘以2，得2S_n=2?2⁴+3?2⁵+4?2⁶+…+n?2ⁿ⁺²+（n+1）?2ⁿ⁺³②
②-①并整理，得S_n=-2?2³-2⁴-2⁵-2⁶-…-2ⁿ⁺²+（n+1）?2ⁿ⁺³=-2³-[2³+2⁴+2⁵+…+2ⁿ⁺²]+（n+1）?2ⁿ⁺³
=-23-

23[1-2n]

1-2

+(n+1)?2n+3=-2³+2³（1-2ⁿ）+（n+1）?2ⁿ⁺³=2ⁿ⁺³?n
（3）由题意c_n=a_nlga_n=（2n+2）?m²ⁿ⁺²lgm，要使c_n-1＜c_n对一切n≥2成立，
即nlgm＜（n+1）?m²?lgm对一切n≥2成立，
①当m＞1时，n＜（n+1）m²对n≥2成立；
②当0＜m＜1时，n＞（n+1）m²
∴n＞

m2

1-m2

对一切n≥2成立，只需

m2

1-m2

＜2，
解得-

6

3

＜m＜

6

3

，考虑到0＜m＜1，
∴0＜m＜

6

3

．
综上，当0＜m＜

6

3

或m＞1时，数列{c_n}中每一项恒小于它后面的项

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=logmx（m为常数，m＞0且m≠1），设f（a1），f（a2..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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