设数列{an}满足：a1=1，an+1=116(1+4an+1+24an)(n∈N*)（1）求a2，a3；（2）令bn=1+24an，求数列{bn}的通项公式；（3）已知f（n）=6an+1-3an，求证：f(1)?f(2)…f(n)＞12．-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}满足：a1=1，an+1=116(1+4an+1+24an)(n∈N*)（1）求a2，a3..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}满足：a₁=1，an+1=

1

16

(1+4an+

1+24an

)(n∈N*)
（1）求a₂，a₃；
（2）令bn=

1+24an

，求数列{b_n}的通项公式；
（3）已知f（n）=6a_n+1-3a_n，求证：f(1)?f(2)…f(n)＞

1

2

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵数列{a_n}满足：a₁=1，an+1=

1

16

(1+4an+

1+24an

)(n∈N*)，
∴a₂=

1

16

(1+4a1+

1+24a1

)=

5

8

，
a3=

1

16

(1+4a2+

1+24a2

)=

1

16

(1+4×

5

8

+

1+24×

5

8

)=

15

32

．
（2）∵bn=

1+24an

，∴an=

bn2-1

24

，代入 an+1=

1

16

(1+4an+

1+24an

)(n∈N*) 得

bn+12-1

24

=

1

16

(1+4×

bn2-1

24

+ bn)，化简可得 4bn+12=(bn+3)2，即 2b_n+1=b_n+3．
∴2（b_n+1-3）=b_n-3，∴{b_n-3}是以2为首项，以

1

2

为公比的等比数列，
∴b_n-3=2(

1

2

)n-1，∴b_n=(

1

2

)n-2+3．
（3）证明：∵已知 an=

bn2-1

24

=

(

1

4

)n-2+9 + 6×(

1

2

)n-2-1

24

=

2

3

×(

1

4

)n+(

1

2

)n+

1

3

，
故 f（n）=6a_n+1-3a_n=6[

2

3

×(

1

4

)n+1+(

1

2

)n+1+

1

3

]-3（

2

3

×(

1

4

)n+(

1

2

)n+

1

3

）=1-

1

4n

=（1-

1

2n

）（1+

1

2n

）．
当n≥2时，有(1+

1

2n-1

)?(1-

1

2n

)=1-

1

2n

+

1

2n-1

-

1

22n-1

=1+

2n-1-1

22n-1

＞1．
∴f（1）?f（2）…?f（n）=（1-

1

2

）（1+

1

2

）?（1-

1

4

）（1+

1

4

）…（1-

1

2n

）（1+

1

2n

）
＞（1-

1

2

）（1+

1

2n

）=

1

2

+

1

2n+1

＞

1

2

．
故要证的不等式 f(1)?f(2)…f(n)＞

1

2

成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}满足：a1=1，an+1=116(1+4an+1+24an)(n∈N*)（1）求a2，a3..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：