已知数列{bn}中，b1=117，bn+1bn=bn+2．数列{an}满足：an=1bn-2(n∈N*)（Ⅰ）求证：an+1+2an+1=0；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）求证：（-1）b1+（-1）2b2+…+（-1）nbn＜1（n∈N*）-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{bn}中，b1=117，bn+1bn=bn+2．数列{an}满足：an=1bn-2(n∈..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{b_n}中，b1=

11

7

，b_n+1b_n=b_n+2．数列{a_n}满足：an=

1

bn-2

(n∈N*)
（Ⅰ）求证：a_n+1+2a_n+1=0；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）求证：（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜1（n∈N^*）

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（Ⅰ）an+1=

1

bn+1-2

=

1

bn+2

bn

-2

=

bn

2-bn

= -1+

2

2-bn

=-2an-1，移向整理得a_n+1+2a_n+1=0
（Ⅱ）∵a_n+1=-2a_n-1∴an+1+

1

3

=-2 (an+

1

3

)
又 a1+

1

3

=-2 ≠0∴{an+

1

3

}为等比数列
∴an+

1

3

=(-2)n∴an=(-2)n-

1

3

证明：（Ⅲ）bn=

1

an

+2=

1

(-2)n-

1

3

+2∴(-1)nbn=2?(-1)n+

1

2n-

1

3

?(-1)n

①当n为奇数时（-1）ⁿb_n+（-1）ⁿ⁺¹b_n+1=

1

2n+

1

3

+

1

2n+1-

1

3

=

2n+2n+1

(2n+

1

3

)(2n+1-

1

3

)

＜

2n+2n+1

2n?2n+1

=

1

2n

+

1

2n+1

（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

+

1

2n-1

-2+

1

2n+

1

3

＜

1

2

1-

1

2

-2+

1

2n+

1

3

=

1

2n+

1

3

-1＜1
②当n为偶数时，（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

+

1

2n

＜

1

2

1-

1

2

=1
综上所述，（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜1

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{bn}中，b1=117，bn+1bn=bn+2．数列{an}满足：an=1bn-2(n∈..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：