已知yn=2logaxn（a＞0且a≠1，n∈N*），已知y4=17，y7=11．（1）求证：数列{yn}是等差数列；（2）数列{yn}的通项公式；（3）数列{yn}的前多少项的和为最大？最大值为多少？-数学试题及答案

1、试题题目：已知yn=2logaxn（a＞0且a≠1，n∈N*），已知y4=17，y7=..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知y_n=2log_ax_n（a＞0且a≠1，n∈N^*），已知y₄=17，y₇=11．
（1）求证：数列{y_n}是等差数列；
（2）数列{y_n}的通项公式；
（3）数列{y_n}的前多少项的和为最大？最大值为多少？

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）证明：∵y_n+1-y_n=2log_a（

1

2

）ⁿ⁺¹-2log_a（

1

2

）ⁿ=2log_a（

1

2

）常数（n≥1）．
∴数列{y_n}为等差数列．
（2）设数列{y_n}的公差为d，由y₄=17，y₇=11．
得

y1+3d=17

y1+6d=11.

解得y₁=23，d=-2，
∴y_n=25-2n．
即数列{yn}的通项为y_n=25-2n（n≥1）．
（3）令

yn≥0

yn+1≤0.

得

25-2n≥0

23-2n≤0.

∵n∈N^*．
∴n=12．
∴{y_n}的前12项之和最大，最大值为S₁₂=144．
（3）由（2）知，当n＞12时，y_n＜0成立．
∵y_n=2log_ax_n，
∴x_n=a^

ya

2

．
当a＞1，且n＞12时，有x_n=a^

ya

2

＜a⁰=1．
这与题意不符，故0＜a＜1．
由0＜a＜1，且n＞12，有x_n=a^

ya

2

≥a^-

1

2

＞2．
故所求a的取值范围为0＜a＜

1

4

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知yn=2logaxn（a＞0且a≠1，n∈N*），已知y4=17，y7=..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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