定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列．已知无穷等比数列{an}的首项、公比均为12．（1）试求无穷等比子数列{a3k-1}（k∈N*）各项的-数学试题及答案

1、试题题目：定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称为原数列的一个子数列．
已知无穷等比数列{a_n}的首项、公比均为

1

2

．
（1）试求无穷等比子数列{a_3k-1}（k∈N^*）各项的和；
（2）是否存在数列{a_n}的一个无穷等比子数列，使得它各项的和为

1

7

？若存在，求出满足条件的子数列的通项公式；若不存在，请说明理由；
（3）试设计一个数学问题，研究：是否存在数列{a_n}的两个不同的无穷等比子数列，使得其各项和之间满足某种关系．请写出你的问题以及问题的研究过程和研究结论．

试题来源：普陀区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）依条件得：a3k-1=

1

23k-1

(k∈N*)，
∴无穷等比子数列{a_3k-1}的首项为a₂=

1

22

，公比为

1

23

，
则无穷等比数列{a_3k-1}各项的和为：

a2

1-

1

23

=

1

22

7

8

=

2

7

；
（2）设此子数列的首项为a₁，公比为q，由条件得：0＜q≤

1

2

，
则

1

2

≤1-q＜1，即 1＜

1

1-q

≤2，
∴a1=

1

7

(1-q)∈[

1

14

，

1

7

)
而 a1=

1

2m

(m∈N*)，
则 a1=

1

8

，q=

1

8

，
所以，满足条件的无穷等比子数列存在且唯一，它的首项、公比均为

1

8

，
其通项公式为an=(

1

8

)n，n∈N^*；
（3）问题：是否存在数列{a_n}的两个不同的无穷等比子数列，使得它们各项的和互为倒数？若存在，求出所有满足条件的子数列；若不存在，说明理由．
假设存在原数列的两个不同的无穷等比子数列，使它们的各项和之积为1．设这两个子数列的首项、公比分别为

1

2a

、

1

2m

和

1

2b

、

1

2n

，其中a、b、m、n∈N^*且a≠b或m≠n，则

1

2a

1-

1

2m

?

1

2b

1-

1

2n

=1?

2(m+n)-(a+b)

(2m-1)(2n-1)

=1?2(m+n)-(a+b)=(2m-1)(2n-1)，
因为等式左边或为偶数，或为一个分数，而等式右边为两个奇数的乘积，还是一个奇数．
故等式不可能成立，即假设错误，
所以这样的两个子数列不存在．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义：将一个数列中部分项按原来的先后次序排列所成的一个新数列称..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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