将数列{an}中的所有项按每组比前一组项数多一项的规则分组如下：（a1），（a2，a3），（a4，a5，a6），（a7，a8，a9，a10），…每一组的第1个数a1，a2，a4，a7，…构成的数列为{bn}，b1-数学试题及答案

1、试题题目：将数列{an}中的所有项按每组比前一组项数多一项的规则分组如下：（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

将数列{a_n}中的所有项按每组比前一组项数多一项的规则分组如下：（a₁），（a₂，a₃），（a₄，a₅，a₆），（a₇，a₈，a₉，a₁₀），…每一组的第1个数a₁，a₂，a₄，a₇，…构成的数列为{b_n}，b₁=a₁=1，S_n为数列{b_n}的前n项和，且满足S_n+1（S_n+2）=S_n（2-S_n+1），n∈N^*，
（I）求证：数列{

1

Sn

}成等差数列，并求出数列{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若从第2组起，每一组中的数自左向右均构成等比数列，且公比q为同一个正数，当a₁₈=-

2

15

时，求公比q的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，记每组中最后一数a₁，a₃，a₆，a₁₀，…构成的数列为{c_n}，设d_n=n²（n-1）?c_n，求数列{d_n}的前n项和T_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）证明：由s_n+1（s_n+2）=s_n（2-s_n+1）
得s_n-s_n+1=s_ns_n+1
所以

1

sn+1

-

1

sn

=1
又s₁=b₁=a₁=1
所以数列{

1

sn

}是首项为1，公差为1的等差数列
所以

1

sn

=n，即sn=

1

n

所以bn=

1，n=1

-1

n(n-1)

，n≥2

（II）因为1+2+…+5=15
所以第1行至第5行共含有数列{a_n}的15项
故a₁₈在表中第6行第三列．（12分）
所以，a₁₈=-

2

15

=b6q2，（13分）
所以q=2．（14分
（III）因为从第2组起，每组中的数据依次构成以b_n为首项，2为公比的等比数列
所以cn=-

1

n(n-1)

?2n-1（n≥2，n∈N^*）
即Cn=

1，n=1

-

1

n(n-1)

?2n-1，n≥2

于是n≥2当时那么相减得，T_n=0+（-2）×2+（-3）×2²+…+（-n）?2^n-1
-T_n=0+2×2+3×2²+…+n?2^n-1
-2T_n=2×2²+3×2³+…+（n-1）?2^n-1+n?2ⁿ
相减可得，T_n=2×2+2²+2³+…+2^n-1-n?2^n-1=（1-n）?2ⁿ

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“将数列{an}中的所有项按每组比前一组项数多一项的规则分组如下：（..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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