设数列{an}的首项a1≠14，且an+1=12ann是偶an+14n是奇，记bn=a2n-1-14，n=1，2，3…（Ⅰ）求a2，a3；（Ⅱ）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）求limn→∞（b1+b2+…+bn）-数学试题及答案

1、试题题目：设数列{an}的首项a1≠14，且an+1=12ann是偶an+14n是奇，记bn=a2n-..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

设数列{a_n}的首项a₁≠

1

4

，且a_n+1=

1

2

an

n是偶

an+

1

4

n是奇

，记b_n=a_2n-1-

1

4

，n=1，2，3…
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）判断数列{b_n}是否为等比数列，并证明你的结论；
（Ⅲ）求

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n）

试题来源：北京试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）a₂=a₁+

1

4

=a+

1

4

，a₃=

1

2

a₂=

1

2

a+

1

8

；
（II）∵a₄=a₃+

1

4

=

1

2

a+

3

8

，所以a₅=

1

2

a₄=

1

4

a+

3

16

，
所以b₁=a₁-

1

4

=a-

1

4

，b₂=a₃-

1

4

=

1

2

（a-

1

4

），b₃=a₅-

1

4

=

1

4

（a-

1

4

），
猜想：{b_n}是公比为

1

2

的等比数列?
证明如下：
因为b_n+1=a_2n+1-

1

4

=

1

2

a_2n-

1

4

=

1

2

（a_2n-1-

1

4

）=

1

2

b_n，（n∈N*）
所以{b_n}是首项为a-

1

4

，公比为

1

2

的等比数列．
（III）

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n）=

lim

n→∞

lim

n→∞

b1(1-

1

2n

)

1-

1

2

=

b1

1-

1

2

=2（a-

1

4

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设数列{an}的首项a1≠14，且an+1=12ann是偶an+14n是奇，记bn=a2n-..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：