已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an+n2-4n（n=1，2，3，…）．（Ⅰ）写出数列{an}的前三项a1，a2，a3；（Ⅱ）求证：数列{an-2n+1}为等比数列；（Ⅲ）求Sn．-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an+n2-4n（n=1，2，3，…）．（Ⅰ..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n+n²-4n（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）写出数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）求证：数列{a_n-2n+1}为等比数列；
（Ⅲ）求S_n．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）由S_n=2a_n+n²-4n，
当n=1时，a₁=2a₁+1-4，可得a₁=3．a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1+（n+1）²-4（n+1）-2a_n-n²+4n，
可得a_n+1=2a_n-2n+3．
可得a₂=7，a₃=13．　　　　　　　　　　　　　　　　
（Ⅱ）由a_n+1=2a_n-2n+3可得，

an+1-2(n+1)+1

an-2n+1

=

2an-2n+3-2(n+1)+1

an-2n+1

=

2an-4n+2

an-2n+1

=2．
又a₁-2×1+1=2．
所以数列{a_n-2n+1}是首项为2，公比为2的等比数列．　　
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，a_n-2n+1=2ⁿ．
所以a_n=2n-1+2ⁿ．
又S_n=2a_n+n²-4n，
可得S_n=2ⁿ⁺¹+n²-2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn=2an+n2-4n（n=1，2，3，…）．（Ⅰ..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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