已知数列{an}的前项n和为Sn，a1=1，Sn与-3Sn+1的等差中项是-32(n∈N*)．（1）证明数列{Sn-32}为等比数列；（2）求数列{an}的通项公式；（3）若对任意正整数n，不等式k≤Sn恒成立，求实-数学试题及答案

1、试题题目：已知数列{an}的前项n和为Sn，a1=1，Sn与-3Sn+1的等差中项是-32(n..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-09 07:30:00

试题原文

已知数列{a_n}的前项n和为S_n，a₁=1，S_n与-3S_n+1的等差中项是-

3

2

(n∈N*)．
（1）证明数列{S_n-

3

2

}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）若对任意正整数n，不等式k≤S_n恒成立，求实数k的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等比数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）因为S_n与-3S_n+1的等差中项是-

3

2

，
所以S_n-3S_n+1=-3，即S_n+1=

1

3

S_n+1，…（2分）
由此得S_n+1-

3

2

=

1

3

（S_n-

3

2

），…（3分）
即

Sn+1-

3

2

Sn-

3

2

=

1

3

，…（4分）
又∵S₁-

3

2

=a₁-

3

2

=-

1

2

，
所以数列{S_n-

3

2

}是以-

1

2

为首项，

1

3

为公比的等比数列．…（5分）
（2）由（1）得S_n-

3

2

=-

1

2

×（

1

3

）^n-1，即S_n=

3

2

-

1

2

×（

1

3

）^n-1，…（6分）
所以，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=[

3

2

-

1

2

×（

1

3

）^n-1]-[

3

2

-

1

2

×（

1

3

）^n-2]=

1

3n-1

…（8分）
又n=a时，a₁=1也适合上式，
所以a_n=

1

3n-1

．…（9分）
（3）要使不等式k≤S_n对任意正整数n恒成立，即k小于或等于S_n的所有值．
又因为S_n=

3

2

-

1

2

×（

1

3

）^n-1是单调递增数列，…（10分）
且当n=1时，S_n取得最小值1，…（11分）
要使k小于或等于S_n的所有值，即k≤1，…（13分）
所以实数k的最大值为．…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知数列{an}的前项n和为Sn，a1=1，Sn与-3Sn+1的等差中项是-32(n..”的主要目的是检查您对于考点“高中等比数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等比数列的定义及性质”。

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