已知函数f（x）=x3-3ax2-3a2+a（a＞0）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若曲线y=f（x）上有两点A（m，f（m））、B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，且函数y=f（x）在区间[m，n]上存在零点，求-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3-3ax2-3a2+a（a＞0）．（1）求函数f（x）..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x^3-3ax²-3a²+a（a＞0）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若曲线y=f（x）上有两点A（m，f（m））、B（n，f（n））处的切线都与y轴垂直，且函数y=f（x）在区间[m，n]上存在零点，求实数a的取值范围．

试题来源：山东省期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）f′（x）=3x²﹣6ax=3x（x﹣2a）．
令f′（x）=0，得x₁=0，x₂=2a
列表如下：

由上表可知，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0），（2a，+∞）；
单调递减区间为（0，2a）．
（2）由（1）可知，m=0，n=2a且在x=0，x=2a处分别取得极值．
f（0）=﹣3a²+a，f（2a）=﹣4a³﹣3a²+a．
由已知得函数y=f（x）在区间[0，2a]上存在零点，
∴f（0）×f（2a）≤0即（﹣3a²+a）（﹣4a³﹣3a²+a）≤0
∴a²（3a﹣1）（4a﹣1）（a+1）≤0
∵a＞0
∴（3a﹣1）（4a﹣1）≤0，
解得

≤a≤

故实数a的取值范围是[

，

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3-3ax2-3a2+a（a＞0）．（1）求函数f（x）..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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