已知函数，其中n∈N*，a为常数．（Ⅰ）当n=1时，函数f（x）在x=3取得极值，求a值；（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f（x）≤x﹣1．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数，其中n∈N*，a为常数．（Ⅰ）当n=1时，函数f（x）在x=3取得极值..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-15 07:30:00

试题原文

已知函数

，其中n∈N*，a为常数．
（Ⅰ）当n=1时，函数f（x）在x=3取得极值，求a值；
（Ⅱ）当a=1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f（x）≤x﹣1．

试题来源：广西自治区月考题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）解：由已知得函数f（x）的定义域为{x|x＞1}，
当n=1时，

，
所以f′（x）=

．
∵函数f（x）在x=3取得极值，
∴f′（3）=0
∴1﹣a+3a=0
∴

∴

∴函数在（1，3）上，f′（x）＜0；在（3，+∞）上，f′（x）＞0
∴

时，函数f（x）在x=3取得极值
（Ⅱ）证明：当a=1时，

当x≥2时，对任意的正整数n，恒有

，
故只需证明1+ln（x﹣1）≤x﹣1．
令h（x）=x﹣1﹣[1+ln（x﹣1）]=x﹣2﹣ln（x﹣1），x∈[2，+∞），
则

，
当x≥2时，h'（x）≥0，
故h（x）在[2，+∞）上单调递增，
因此当x≥2时，h（x）≥h（2）=0，即1+ln（x﹣1）≤x﹣1成立．
故当x≥2时，有

．
即f（x）≤x﹣1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数，其中n∈N*，a为常数．（Ⅰ）当n=1时，函数f（x）在x=3取得极值..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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