发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-15 07:30:00
| 试题原文 |
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| 解：（1）记g（x）＝ex-bx， 当b＝1时，g′（x）＝ex-1， 当x＞0时，g′（x）＞0，所以g（x）在（0，＋∞）上为增函数； 又g（0）＝1＞0， 所以当x∈（0，＋∞）时，g（x）＞0， 所以当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝∣g（x）∣＝g（x）， 所以f′（1）＝g′（1）＝e-1， 所以曲线y＝f（x）在点（1，e-1）处的切线方程为：y-（e-1）＝（e-1）（x-1）， 即y＝（e-1）x。 （2）f（x）＝0同解于g（x）＝0， 因此，只需g（x）＝0有且只有一个解，即方程ex-bx＝0有且只有一个解， 因为x＝0不满足方程，所以方程同解于b＝  ， 令h（x）＝  ，由h′（x）＝  ＝0得x＝1，当x∈（1，＋∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，h（x）∈（e，＋∞）； 当x∈（0，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，h（x）∈（e，＋∞）； 所以当x∈（0，＋∞）时，方程b＝  有且只有一解等价于b＝e；当x∈（-∞，0）时，h（x）单调递减，且h（x）∈（-∞，0）， 从而方程b＝  有且只有一解等价于b∈（-∞，0）；综上所述，b的取值范围为（-∞，0）∪{e}。 （3）由g′（x）=ex-b=0，得x=lnb， 当x∈（-∞，lnb）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减； 当x∈（lnb，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增； 所以在x=lnb时，g（x）取极小值g（lnb）=b-blnb=b（1-lnb）， ①当0＜b≤e时，g（lnb）=b-blnb=b（1-lnb）≥0， 从而当x∈R时，g（x）≥0， 所以f（x）=∣g（x）∣=g（x）在（-∞，+∞）上无极大值； 因此，在x∈（0，2）上也无极大值； ②当b＞e时，g（lnb）＜0， 因为g（0）=1＞0，g（2lnb）=b2-2blnb=b（b-2lnb）＞0， 所以存在x1∈（0，lnb），x2∈（lnb，2lnb），使得g（x1）=g（x2）=0， 此时f（x）=∣g（x）∣=  ，所以f（x）在（-∞，x1）单调递减，在（x1，lnb）上单调递增，在（lnb，x2）单调递减， 在（x2，+∞）上单调递增， 所以在x=lnb时，f（x）有极大值， 因为x∈（0，2）， 所以，当lnb＜2，即e＜b＜e2时，f（x）在（0，2）上有极大值； 当lnb≥2，即b≥e2时，f（x）在（0，2）上不存在极大值； 综上所述，在区间（0，2）上，当0＜b≤e或b≥e2时，函数y=f（x）不存在极大值； 当e＜b＜e2时，函数y=f（x）在x=lnb时取极大值f（lnb）=b（lnb-1）。 |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）＝|ex－bx|，其中e为自然对数的底，（1）当b＝1时，求曲线y＝f..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。